Progressão geométrica (PG) - Fórmula da seqüência numérica
Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Assim como a progressão aritmética, a progressão geométrica (PG) é uma maneira de estabelecer uma seqüência de números. Neste caso, no entanto, em vez de uma soma como elemento constante, temos uma multiplicação.
Imagine uma progressão em que a lei de formação seja a multiplicação do termo anterior por um número. A progressão com esta lei de formação chama-se Progressão Geométrica ou P.G.. Exemplo:
(2,4,8,16,32,64,...)
O quociente entre dois números consecutivos é igual a 2.
Fórmula da PG: do enésimo termo
Pela definição de PG, a fórmula de um termo é:
Logo pode-se deduzir que para um termo qualquer
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:
(*)
Fórmula da soma de um a P.G.
Como não temos o gênio de Gauss, que descobriu a fórmula das Progressões Aritméticas num estalo, a dedução da fórmula da soma de uma P.G. é um pouco mais trabalhosa.
Em uma P.G.
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a soma dos n primeiros termos será:(**)
Multiplicando-se os dois termos por q tem-se:
Como
Tem-se
(***)
Fazendo (**) menos (***) obtemos:
Como de (*)
Logo:
para
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(pois é óbvio que com q = 1 não existe P.G.)Uma curiosidade:
Conta a lenda que o inventor do jogo de xadrez foi agraciado pelo rei por sua invenção com um pedido. O inventor pediu pouca coisa:
1 grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro de xadrez,
2 grãos pela segunda casa,
4 grãos pela terceira casa,
8 grãos pela quarta casa
e assim sucessivamente até a 64º do tabuleiro.
Será que ele pediu pouca coisa?
O resultado é nada menos que18.446.744.073.709.551.615 grãos... ou seja, dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinqüenta e um mil, seiscentos e quinze grãos. Que tal?