Progressão aritmética - Propriedades úteis na resolução de problemas
As progressões aritméticas (PA) possuem algumas propriedades que são bastante úteis na resolução de problemas, principalmente alguns propostos nos vestibulares.
1ª propriedade: soma dos termos equidistantes.
Numa PA, os termos opostos, ou equidistantes, ou seja, os que estão à mesma distância do termo central da PA, têm a mesma soma.
2ª propriedade: média aritmética.
Observe a PA infinita (3, 10, 17, 24, 31, 38, ...).
Se tomarmos três de seus termos:
e fizermos
, ou seja, se tirarmos a média aritmética dos termos "da ponta", obteremos
,
que é o termo do meio.
E isso também acontece para quaisquer três termos consecutivos da PA.
No caso de uma PA com um número ímpar de termos, essa propriedade vale para termos opostos:
Há também duas observações que não consideradas propriedades, mas facilitam a resolução de problemas.
1ª observação: PAs desconhecidas de 3, 4, ou 5 termos.
Sempre que um exercício se referir a uma PA desconhecida com 3, 4 ou 5 termos é útil utilizar:
3 termos - (x - r, x, x + r)
4 termos - (x - 3r, x - r, x + r, x + 3r)
5 termos - (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)
Assim, evita-se o uso de muitas incógnitas, pois o natural seria utilizar a, b, c, d, e para os termos desconhecidos.
2ª observação: decompor os termos em função do 1º termo e da razão.
Em problemas que se referem a termos aleatórios de uma PA, por exemplo,
e |
, é útil diminuir o número de incógnitas, decompondo esses termos por meio da fórmula do termo geral.
Assim, utiliza-se no lugar de e
no lugar de
.
Exercícios resolvidos
1) Achar a razão da PA (x, 2x + 5, 32).
Nesse caso, utilizaremos a propriedade da média aritmética para resolver o problema.
Assim, sabemos que
Resolvendo a equação, temos:
Logo, a PA é
E sua razão é
2) Sabe-se que, numa PA,
e . Determine-a.
Utilizaremos a 2ª observação para resolver esse problema.
Note que, ao invés de 4 incógnitas, temos agora apenas duas!
Assim,
Temos o sistema:
Subtraindo a segunda da primeira equação, obtemos:
-2r = -6
r = 3.
Substituindo r na primeira igualdade, acharemos a1:
E a PA fica determinada: (4, 7, 10, 13, 16, ...).
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