Matemática

Progressão aritmética: Propriedades úteis na resolução de problemas

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

As progressões aritméticas (PA) possuem algumas propriedades que são bastante úteis na resolução de problemas, principalmente alguns propostos nos vestibulares.

1ª propriedade: soma dos termos equidistantes.

Numa PA, os termos opostos, ou equidistantes, ou seja, os que estão à mesma distância do termo central da PA, têm a mesma soma.


 

 

 

 

 

2ª propriedade: média aritmética.

Observe a PA infinita (3, 10, 17, 24, 31, 38, ...).
Se tomarmos três de seus termos:

 

 

 

 

e fizermos

3 + 1 7 2

, ou seja, se tirarmos a média aritmética dos termos "da ponta", obteremos

3 + 1 7 2 = 1 0

,
que é o termo do meio.

E isso também acontece para quaisquer três termos consecutivos da PA.

No caso de uma PA com um número ímpar de termos, essa propriedade vale para termos opostos:


 

 

 

 

 

Há também duas observações que não consideradas propriedades, mas facilitam a resolução de problemas.


1ª observação: PAs desconhecidas de 3, 4, ou 5 termos.

Sempre que um exercício se referir a uma PA desconhecida com 3, 4 ou 5 termos é útil utilizar:

3 termos - (x - r, x, x + r)

4 termos - (x - 3r, x - r, x + r, x + 3r)

5 termos - (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)

Assim, evita-se o uso de muitas incógnitas, pois o natural seria utilizar a, b, c, d, e para os termos desconhecidos.

2ª observação: decompor os termos em função do 1º termo e da razão.

Em problemas que se referem a termos aleatórios de uma PA, por exemplo,

a 2 e a 1 0

, é útil diminuir o número de incógnitas, decompondo esses termos por meio da fórmula do termo geral.

Assim, utiliza-se a 1 + r no lugar de a 2 e a 1 + 9 r

no lugar de a 1 0

.

Exercícios resolvidos

1) Achar a razão da PA (x, 2x + 5, 32).

Nesse caso, utilizaremos a propriedade da média aritmética para resolver o problema.

Assim, sabemos que

x + 3 2 2 = 2 x + 5

Resolvendo a equação, temos:

x + 3 2 2 = 2 x + 5 x + 3 2 = 2 2 x + 5 x + 3 2 = 4 x + 1 0 3 x = 2 2 x = 2 2 3

Logo, a PA é

2 2 3 , 5 9 3 , 3 2

E sua razão é

5 9 3 - 2 2 3 = 3 7 3


2) Sabe-se que, numa PA, a 3 + a 6 = 29

e a 4 + a 7 = 3 5 . Determine-a.

Utilizaremos a 2ª observação para resolver esse problema.

a 3 = a 1 + 2 r a 6 = a 1 + 5 r a 4 = a 1 + 3 r a 7 = a 1 + 6 r

Note que, ao invés de 4 incógnitas, temos agora apenas duas!

Assim,

a 3 + a 6 = 2 9 a 4 + a 7 = 3 5 a 1 + 2 r + a 1 + 5 r = 2 9 a 1 + 3 r + a 1 + 6 r = 3 5

Temos o sistema:

{ 2 a 1 + 7 r = 2 9 2 a 1 + 9 r = 3 5

Subtraindo a segunda da primeira equação, obtemos:

-2r = -6
r = 3.

Substituindo r na primeira igualdade, acharemos a1:

2 a 1 + 7 . 3 = 2 9 2 a 1 = 2 9 - 2 1 2 a 1 = 8 a 1 = 4

E a PA fica determinada: (4, 7, 10, 13, 16, ...).

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.

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