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Matriz identidade e inversa - Na diagonal, vai o número 1

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

A matriz identidade é uma matriz quadrada na qual todos os elementos da diagonal principal (elementos de índice aii, ou seja, a11, a22, etc) são iguais a 1.

De segunda ordem :

Ι 2 = ( 1 0 0 1 )

De terceira ordem:

Ι 3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 )


De quarta ordem:

Ι 4 = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 )

E assim por diante.

Matriz inversa

Dada uma matriz quadrada A, a sua inversa será tal que a multiplicação das matrizes resulte na matriz identidade, como definido acima.

Por exemplo:

Α = ( 7 - 5 2 4 )

A sua inversa, segundo a definição será:

Β = ( a b c d )
Α · Β = ( 7 - 5 2 4 ) · ( a b c d ) = ( 1 0 0 1 )

Multiplicando-se as matrizes:

{ 7 a - 5 c = 1 7 b - 5 d = 0 2 a + 4 c = 0 2 b + 4 d = 1

O que dá dois sistemas a duas incógnitas cada:

{ 7 a - 5 c = 1 2 a + 4 c = 0
{ 7 b - 5 d = 0 2 b + 4 d = 1

Resolvendo-se, temos:

a = 2 / 1 9 b = 5 / 3 8 c = 1 / 1 9 d = 7 / 3 8

Sendo a matriz inversa de A:

Α - 1 = ( 2 / 1 9 5 / 3 8 1 / 1 9 7 / 3 8 )

 

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