Determinante - Número representa matriz

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Determinante de uma matriz quadrada é um operador matemático que transforma essas matrizes em um número real.

Para a matriz quadrada de ordem 1 é o próprio elemento:

Se

$Α = (- 12)$

Α = (- 12)

então o

$det Α = \| - 12 \| = - 12$

det Α = | - 12 | = - 12

$Β = (5 / 8)$

Β = (5 / 8)

então o

$det Β = \| 5 / 8 \| = 5 / 8$

det Β = | 5 / 8 | = 5 / 8

Note que as barras substituem os parênteses e existe o "det".

Para as matrizes de ordem 2, o determinante é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto da diagonal secundária.

Veja:

Dada a matriz

$Α = (\begin{matrix} 4 & - 5 \\ 3 & 10 \end{matrix})$

Α = (\begin{matrix} 4 & - 5 \\ 3 & 10 \end{matrix})

o determinante é

Para determinantes de ordem 3 pode-se usar a regra de Sarrus:

Dada uma matriz de ordem 3:

$det Α = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})$

det Α = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})

a) Repetem-se as duas primeiras colunas

$det Α = \| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}$

det Α = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}

b) Multiplicam-se os elementos das linhas paralelas à diagonal principal somando-se entre si:

c) Do total, diminui-se a multiplicação dos elementos das linhas paralelas à diagonal secundária:

d) Somando-se os seis termos, temos o determinante.

Exemplo:

$det Α = \| \begin{matrix} 3 & 10 & 4 \\ 2 & 8 & 7 \\ 6 & - 1 & - 1 \end{matrix} \|$

det Α = | \begin{matrix} 3 & 10 & 4 \\ 2 & 8 & 7 \\ 6 & - 1 & - 1 \end{matrix} |

$det Α = \| \begin{matrix} 3 & 10 & 4 \\ 2 & 8 & 7 \\ 6 & - 1 & - 1 \end{matrix} \| \begin{matrix} 3 & 10 \\ 2 & 8 \\ 6 & - 1 \end{matrix}$

det Α = | \begin{matrix} 3 & 10 & 4 \\ 2 & 8 & 7 \\ 6 & - 1 & - 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 3 & 10 \\ 2 & 8 \\ 6 & - 1 \end{matrix}

$\begin{matrix} det Α = 3 \cdot 8 (- 1) + 10 \cdot 7 \cdot 6 + 4 \cdot 2 \cdot (- 1) - 6 \cdot 8 \cdot 2 - (- 1) \cdot 7 \cdot 3 \\ - (- 1) \cdot 2 \cdot 10 \\ det Α = - 24 + 420 - 8 - 192 + 21 + 20 = 237 \end{matrix}$

\begin{matrix} det Α = 3 \cdot 8 (- 1) + 10 \cdot 7 \cdot 6 + 4 \cdot 2 \cdot (- 1) - 6 \cdot 8 \cdot 2 - (- 1) \cdot 7 \cdot 3 \\ - (- 1) \cdot 2 \cdot 10 \\ det Α = - 24 + 420 - 8 - 192 + 21 + 20 = 237 \end{matrix}

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