Produto notável - Estratégia de interpretação

Veja este produto notável:

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

Ele é o exemplo de uma expressão carregada de letras que, apesar de assustar a maioria das pessoas, pode se transformar em um instrumento para o estudo das ideias e dos conceitos matemáticos.

O primeiro passo é não esquecer que um dos procedimentos da álgebra é a substituição de números por letras, permitindo generalizar e ampliar as regras em um determinado campo numérico. Esse procedimento auxilia a análise e a interpretação de muitas propriedades operatórias porque o enfoque não fica restrito somente ao valor do número.

Assim, ao escrever a.b estou informando que dois números diferentes estão sendo multiplicados, sem me importar com o valor do resultado ou do produto. Na condição de terem valores iguais, poderemos escrever o resultado desse produto elevando a letra a ou a letra b ao quadrado:

a.a = a² ou = b.b = b²

O produto de dois números diferentes somado a um terceiro número, também diferente, pode ser representado como a . b + c. Agora, na condição de um número ser multiplicado ao resultado da soma de outros dois, a expressão será organizada de uma outra forma e escrita como c . (a + b).

Interpretando essas expressões, poderemos analisar a propriedade da distributiva que conduz à regra do produto notável. Para o nosso exemplo de c . (a + b) daremos um valor para c, com o objetivo de estudar essa propriedade. Assim, na condição de c = 4 escrevemos 4 . (a + b), possibilitando a decomposição em (a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b). Com tal informação, essa expressão pode escrita novamente, agrupando as parcelas que são iguais:

4 . (a + b) = (a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b) = a + a + a + a + b + b + b + b = 4 . a + 4 . b

Observamos que o quatro, ao multiplicar a soma, pode ser distribuído entre as parcelas dessa soma, multiplicando cada uma delas. Assim, outras experiências são feitas para verificação e, no nosso exemplo, o quatro que multiplica (a + b) é decomposto em 1 + 3, fazendo com que o termo 4 . (a + b) possa ser substituído por (3 + 1).(a + b):

(3 + 1).(a + b) = (a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b)

No segundo membro da expressão podemos formar agrupamentos com a soma (a + b), sendo que uma das possibilidades é 3 . (a + b) + (a + b). Um outro tipo de agrupamento pode ser feito no formato 3 . a + 3 . b + a + b. Essas duas possibilidades, ao serem comparadas, permitem a observação da propriedade da distributiva:

(3 + 1).(a + b) = 3.(a + b) + 1.(a + b)

(3 + 1).(a + b) = 3. a + 3. b + 1 . a + 1 . b

Percebemos que o 3 e o 1, da decomposição do 4, são distribuídos multiplicando as parcelas a e b.

Para ilustrar melhor essa propriedade, vamos a um exemplo numérico. Escolhemos 8 x 6 = 48 e fazemos a decomposição do 8 e do 6 escrevendo o produto como (3 + 5).( 2 + 4) = 48. A partir do exemplo mostrado desenvolvemos o cálculo:

8.6 = (3 + 5).(2 + 4) = 3.2 + 3.4 + 5.2 + 5.4 = 6 + 12 + 10 + 20 = 48

Essa demonstração permite a construção da regra do produto notável para o caso da multiplicação entre duas somas. As parcelas envolvidas nessa operação podem ser generalizadas por meio das letras e, assim, em vez do 3, 5, 2 e 4 usamos a, b, c e d:

(a + b).(c + d) = a . c + a . d + b . c + b . d

A partir dessa generalização, podemos impor a condição do caso em que temos o produto de duas somas iguais, com parcelas também iguais, isto é, (a + b).(a + b). A distributiva conduz para a . a + a . b + b . a + b . b. Lembrando que a ordem dos fatores não altera o produto, temos que a . b é igual a b . a, fazendo com que a soma entre esses dois termos dê o resultado igual a 2 . a . b.

Organizando os termos para esse caso bem específico, finalmente escrevemos a fórmula do produto notável:
(a + b)² = (a + b).(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a² + 2.a.b + b²

Fazemos mais uma verificação numérica, escolhendo dois valores para as parcelas a e b, que, no caso, são, respectivamente, 8 e 3:

11² = 11.11 = 121

(8 + 3)² = (8 + 3).(8 + 3) = 8.8 + 8.3 + 3.8 + 3.3 = 64 + 24 + 24 + 9 = 121

Um procedimento que mostra que, diante de fórmulas ou expressões literais, podemos explorar as ideias que dão suporte ao aprendizado do conhecimento matemático por meio do jogo algébrico de substituir números por letras - ou vice-versa.