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Trigonometria - Arcos complementares

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Em trigonometria, as relações entre funções trigonométricas de arcos são importantes para a resolução de problemas. As relações entre os arcos complemanteres são casos de identidades trigonométricas notáveis.

Arcos complementares são aqueles cuja soma sempre dá:

π 2 rad

Cada arco é chamado de complemento do outro.

Veja a figura:

 

 

 

 

 

 

Na figura acima, pode-se constatar que, para ângulos complementares, indicados o seno de um é o co-seno do outro, e como a figura é simétrica, o inverso também é verdadeiro. Matematicamente:

sen θ = cos π 2 - θ cos θ = sen π 2 - θ
sen 4 5 º = cos 4 5 º sen 3 0 º = cos 6 0 º cos 3 0 º = sen 6 0 º sen 9 0 º = cos 0 º cos 0 º = sen 9 0 º

Além dessas aplicações, essas propriedades também são úteis em resoluções algébricas que envolvam funções trigonométricas.

Não existe um único método de resolução de equações trigonométricas, mas, na maioria delas, pode-se facilitar usando-se as relações conhecidas por outras mais simples. Como são poucas, como:

sen 2 θ + cos 2 θ = 1

Logo, qualquer nova relação é sempre bem vinda.

Exercício resolvido

1. Simplifique a seguinte equação:

y = sen π 2 - x . cos π 2 + x sen π 2 + x . cos π 2 - x

Sendo que:

x k x 2 , k Z

Temos as seguintes relações:

sen π 2 - x = cos x
cos π 2 + x = - cos π 2 x = - sen x
sen π 2 + x = sen π 2 - x = cos x
cos π 2 - x = sen x

Logo:

y = cos x . - sen x cos x . sen x

Portanto:

y = - 1

 

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

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