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Matemática

Identidades trigonométricas - Operações com seno, cosseno e tangente

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Qual seria o seno, o cosseno ou a tangente de um ângulo de 105° ou de 75°? Utilizando as relações de soma e diferença de ângulos, chamadas de identidades trigonométricas, podemos calculá-los com bastante facilidade.

As identidades mais comuns são as seguintes:

sen a + b = sen a . cos b + sen b . cos a
sen a - b = sen a . cos b - sen b . cos a
cos a + b = cos a . cos b - sen a . cos b

cos a - b = cos a . cos b + sen a . cos b
tg a + b = tg a + tg b 1 - tg a . tg b
tg a - b = tg a - tg b 1 + tg a . tg b

Note que a ideia é achar uma soma de ângulos notáveis e aplicar uma das fórmulas acima.

Exercício resolvido

Encontre o seno, o cosseno e a tangente do ângulo 75°.

Como 75° é a soma de 30° com 45° o caminho está delineado para a solução.

Usando as fórmulas:

sen 7 5 º = sen 3 0 º + 4 5 º
sen a + b = sen a . cos b + sen b . cos a
sen 3 0 º + 4 5 º = sen 3 0 º . cos 4 5 º + sen 4 5 º . cos 3 0 º

Usando a tabela:

sen 3 0 º + 4 5 º = 1 2 . 2 2 + 2 2 . 3 2

Logo:

sen 7 5 º = 2 + 6 4

Agora o co-seno:

cos a + b = cos a . cos b - sen a . sen b
cos 3 0 º + 4 5 º = cos 3 0 º . cos 4 5 º - sen 3 0 º . cos 4 5 º
cos 3 0 º + 4 5 º = 3 2 . 2 2 - 1 2 . 2 2
cos 7 5 º = 6 - 2 4

E finalmente a tangente:

tg a + b = tg a + tg b 1 - tg a . tg b
tg 3 0 º + 4 5 º = tg 3 0 º + tg 4 5 º 1 - tg 3 0 º . tg 4 5 º
tg 3 0 º + 4 5 º = 3 3 + 1 1 - 3 3 . 1
tg 3 0 º + 4 5 º = 3 + 3 3 3 - 3 3 = 3 + 3 3 - 3 = 3 + 3 3 - 3 . 3 + 3 3 + 3 = 1 2 + 6 3 6 = 2 + 3

Para um ângulo de 15° deve-se usar a diferença de 45° e 30°, para 105° a soma de 60° com 45°, e assim sucessivamente.

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