Trigonometria (2) - A tangente no triângulo retângulo

Você deve se lembrar do artigo sobre Trigonometria (1) - Relações trigonométricas no triângulo retângulo, mas, só para relembrar:

Em um triângulo retângulo ABC:

Sendo Â ângulo reto, o lado oposto tem o nome de hipotenusa ( $\bar{BC}$ )e os dois outros lados ( $\bar{AB}$ e $\bar{AB}$ ) são chamados de catetos.

A medida do cateto $\bar{AB}$ será c (medida do lado oposto ao ângulo $\hat{C}$ ) , a do cateto $\bar{CA}$ será b (oposto ao ângulo $\hat{B}$ ) e finalmente a hipotenusa (oposto ao ângulo Â) será a.

O seno do ângulo $\hat{B}$ será a medida do cateto oposto sobre a medida da hipotenusa:

$sen \hat{B} = \frac{b}{a}$

sen \hat{B} = \frac{b}{a}

O co-seno será a medida do cateto adjacente sobre a medida da hipotenusa:

$cos \hat{B} = \frac{c}{a}$

cos \hat{B} = \frac{c}{a}

A tangente será a medida do cateto oposto sobre o cateto adjacente:

$tg \hat{B} = \frac{b}{c}$

tg \hat{B} = \frac{b}{c}

Mas veja: Se

$sen \hat{B} = \frac{b}{a}$

sen \hat{B} = \frac{b}{a}

$cos \hat{B} = \frac{c}{a}$

cos \hat{B} = \frac{c}{a}

quanto valeria

$\frac{sen \hat{B}}{cos \hat{B}}$

\frac{sen \hat{B}}{cos \hat{B}}

$tg \hat{B} = \frac{sen \hat{B}}{cos \hat{B}}$

tg \hat{B} = \frac{sen \hat{B}}{cos \hat{B}}

Como isso aconteceu?

Tente responder você.

Mas, sendo a tangente a razão entre o seno e o co-seno, temos, para a tabela do artigo acima citado:

30^o

X	30o	45o	60o
sen x	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
cos x	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
tg x	$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$	$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

Mas tem-se de racionalizar (simplificar)

\frac{1}{\sqrt{3}}

, para isso deve-se multiplicar por $\sqrt{3}$ tanto no denominador quanto no numerador, logo:

$\frac{1}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

\frac{1}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

A tabela final fica:

X	30o	45o	60o
sen x	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
cos x	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
tg x	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

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Matemática

Trigonometria (2) - A tangente no triângulo retângulo

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