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Matriz (2) - Operações

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

A soma ou subtração de matrizes se dá com a soma ou subtração dos elementos correspondentes de cada matriz, ou seja, elementos de mesmo índice.

Assim sendo:

Α = ( 7 1 9 8 )

 

 

e

Β = ( 9 5 5 - 2 )

 

 

 

teremos:

Α + Β = ( 7 1 9 8 ) + ( 9 5 5 - 2 ) = ( 7 + 9 1 + 5 9 + 5 8 - 2 ) = ( 1 6 6 1 4 6 )

Nota: A soma e subtração de matrizes só são possíveis se as matrizes forem do mesmo tipo (isto é, tiverem o mesmo número de linhas e de colunas). A adição de uma matriz com a sua oposta resulta em uma matriz nula (todos os elementos são zero).

E como ficaria a subtração (A-B)?

a - b = ( 7 1 9 8 ) - ( 9 5 5 - 2 ) = ( 7 - 9 1 - 5 9 - 5 8 + 2 ) = ( - 2 - 4 4 1 0 )

Multiplicação de número real por matriz

Sendo a matriz

Α = ( 3 1 0 8 - 6 7 4 )

A multiplicação de A pelo número real 6 é:

6 · Α = ( 6 · 3 6 · 1 0 6 · 8 6 · - 6 6 · 7 6 · 4 ) = ( 1 8 6 0 4 8 - 3 6 4 2 2 4 )

Multiplicação de matrizes

Para uma matriz A ser multiplicada pela matriz B, é necessário que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B.

Por exemplo, A do tipo 3x2 e B do tipo 2x2, A do tipo 9x3 e B do tipo 3x1, etc.

A matriz C resultante da multiplicação de duas matrizes A e B terá o número de linhas de A e o número de colunas de B. Nos exemplos acima temos:












 

 

 

 

 

Para o cálculo do produto deve-se multiplicar ordenadamente os elementos de cada linha de A por cada coluna de B e somando-se os produtos obtidos.

Em uma representação simplificada:

Α = ( 5 4 7 2 9 6 )

e

Β = ( 7 - 1 9 - 2 )

Sendo C do tipo 3x2, temos:

( 5 4 7 2 9 6 ) · ( 7 - 1 9 - 2 ) = ( c 1 1 c 1 2 c 2 1 c 2 2 c 3 1 c 3 2 )

Acompanhe devagar o valor de cada elemento Cij:

 

c 1 1 = a 1 1 · b 1 1 + a 1 2 · b 2 1 = 5 · 7 + 4 · 9 = 7 1 c 1 2 = a 1 2 · b 1 2 + a 2 2 · b 2 2 = 5 · - 1 + 4 · - 2 = - 1 3 c 2 1 = a 2 1 · b 1 1 + a 2 2 · b 2 1 = 7 · 7 + 2 · 9 = 6 7 c 2 2 = a 2 2 · b 1 2 + a 2 2 · b 2 2 = 7 · - 1 + 2 · - 2 = - 1 1 c 3 1 = a 3 1 · b 1 1 + a 3 2 · b 2 1 = 9 · 7 + 6 · 9 = 1 1 7 c 3 2 = a 3 2 · b 1 2 + a 3 2 · b 2 2 = 9 · - 1 + 6 · - 2 = - 2 1

 

Por exemplo, o elemento C31 é o resultado da soma das multiplicações da linha 3 de A pela coluna 1 de B.

A fórmula geral dos elementos de C é:

c ij Σ κ = 1 η a i κ b κ j
*Veja errata.

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