Multiplicação de matrizes - Problema resolvido

• Matriz - Definição e classificação
• Operações com matrizes
• Matriz - determinante
• Matriz identidade e inversa

O número de transistores e o número de alto-falantes usados para montar três modelos de aparelhos de TV foram especificados em uma tabela.

Vamos chamar este arranjo de matriz das partes-por-aparelho.

Suponha agora que, em janeiro, tenham sido encomendados 12 aparelhos do modelo A, 24 do modelo B e 12 do modelo C; em fevereiro, 6 aparelhos do modelo A, 12 do modelo B e 9 do modelo C. Podemos escrever a informação em forma de matriz, assim:

Vamos chamar este arranjo de matriz dos aparelhos-por-mês.

Para determinar o número de transistores e de alto-falantes necessários em cada um dos meses para essa encomenda, é evidente que é preciso usar os dois conjuntos de informações. Por exemplo, para calcular o número de transistores necessários em janeiro, multiplicamos cada elemento da 1a linha da matriz partes-por-aparelho pelo elemento correspondente na 1a coluna da matriz dos aparelhos-por-mês e, em seguida, somando os três produtos.

Assim, o número de transistores necessários em janeiro é:

13 x 12 + 18 x 24 + 20 x 12 = 828

Do mesmo modo, para calcular o número de alto-falantes necessários em janeiro, multiplicamos cada elemento da 2a linha da matriz partes-por-aparelho pelo elemento correspondente na 1a coluna da matriz aparelhos-por-mês e, em seguida, somamos os produtos obtidos.

Assim, o número de alto-falantes para janeiro é:

2 x 12 + 3 x 24 + 4 X 12 = 144

Para fevereiro, igualmente, primeiro multiplicamos os elementos da 1a linha da matriz partes-por-aparelho pelos elementos correspondentes da 2a coluna da matriz aparelhos-por-mês, e somamos para determinar o número de alto-falantes.

Assim, os números de transistores e alto-falantes para fevereiro são, respectivamente:

13 x 6 + 18 x 12 + 20 x 9 = 474 e 2 x 6 + 3 x 12 + 4 x 9 = 84

Podemos dispor essas quatro somas em uma tabela que chamaremos matriz partes-por-mês:

De vez em quando, você vai se deparar com uma bela questão que ilustra a aplicabilidade do produto matricial. Pena que, em geral, isso aconteça num momento tão difícil quanto o do vestibular. De fato, é fácil entender que a soma entre matrizes só pode ocorrer entre aquelas de mesmo formato, isto é, que apresentam respectivamente os mesmos números de linhas e colunas.

Porém, de que modo se pode compreender a condição para o produto ou multiplicação matricial, isto é, o fato de que o número de linhas da segunda matriz deve ser igual ao número de colunas da primeira matriz?

Bem, se devemos considerar as matrizes como tabelas, o produto matricial pode ser encarado como um artifício usado para cruzar as informações entre duas tabelas que apresentam uma informação comum às duas. Por isso, a restrição ao formato das respectivas tabelas é justamente o que dá a condição do cruzamento de informações.

Veja a seguir alguns problemas de vestibular que apresentam aspectos interessantes da aplicação desse conceito:

(UERJ 1999 - modificado) João comeu uma salada de frutas com a, m e p porções de 100g de abacaxi, manga e pêra, respectivamente, conforme a matriz X.

A matriz A representa as quantidades de energia (em calorias), mais vitamina C e cálcio (em mg), e a matriz B indica os preços, em reais, dessas frutas em 3 diferentes supermercados. A matriz C mostra que João ingeriu 295,6 cal, 143,9mg de vitamina C e 93mg de cálcio. Como calcular o custo dessa salada de frutas, em cada supermercado?

Vamos começar pelo final. Para calcular o preço da salada de frutas, seria bom que soubéssemos quantas porções de cada fruta foram escolhidas para montar o prato, multiplicar essas quantidades pelos respectivos valores em cada supermercado e o problema estaria resolvido.

Como obter essas quantidades? Observe que a matriz C representa o cruzamento de informações das matrizes A e X, isto é, você pode desenhar as matrizes A à esquerda da matriz X e operar o algoritmo que faz o cruzamento dos valores, observando que o dado comum às duas matrizes é o tipo de fruta:

As 295,6 calorias foram obtidas do abacaxi (52 calorias cada uma das a porções de 100g), da manga (64,3 calorias cada uma das m porções de 100g) e da pêra (63,3 calorias cada uma das p porções de 100g), e assim por diante.

Desse modo, construímos um sistema de três equações com três incógnitas que nos leva às porções a, m e p das frutas escolhidas.

$$\{\begin{array}{c}52\text{a}+64,?3\text{m}+63,?3\text{p}=295,?6\\ 27,?2\text{a}+43\text{m}+3,?5\text{p}=143,?9\\ 18\text{a}+21\text{m}+15\text{p}=93\end{array}$$ $$\to$$ a = 2 porções, m = 1 porção e p = 1 porção.

O que fizemos aqui? Observe que a combinação das matrizes A e X, nessa ordem, nos leva aos dados da matriz C. Esse é o momento em que dizemos: vamos multiplicar as matrizes A e X, e o resultado será a matriz C. Em outras palavras: A . X = C.

É interessante notar também que, se o cruzamento fosse feito de modo que tivéssemos de representar a matriz X à esquerda de A, não teríamos significado para os valores obtidos.

Você pode lançar mão de mais um aliado que é a análise dimensional, isto é, cada elemento das matrizes tem uma "dimensão" ou "unidade" (ex: o elemento a11 da matriz C vale 52 cal/100g de abacaxi, etc...). Agora vamos achar os preços nos diversos supermercados. Lembre-se de que os valores a, m e p da matriz A já são nossos conhecidos. Veja agora que a matriz B mostra quanto custa cada porção de fruta em um determinado supermercado. Por exemplo: o elemento a11 (linha 1 e coluna 1) dessa matriz vale R$ 0,15/porção de abacaxi. De novo, podemos combinar os valores de duas matrizes para obter informações, agora as matrizes X e B, nessa ordem: