Números complexos (2) - Interpretação geométrica de pares ordenados

• Origem dos números complexos
• Conceito e representações
• Potências
• Igualdade e conjugado
• Operações na forma algébrica
• Forma algébrica e trigonométrica

Com o auxílio da geometria analítica, o matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855) deu aos números complexos a interpretação geométrica de pares ordenados (a; b) num sistema ortogonal, associando univocamente cada par ordenado a um ponto nesse plano, e vice-versa.

Para essa representação, também podiam ser utilizadas outras coordenadas, por assim dizer: a distância $$\rho$$ do ponto à origem do sistema de coordenadas, e o ângulo $$a$$ entre o segmento $$\overline{\text{OZ}}$$ e a reta horizontal.

As relações entre as coordenadas são as seguintes:
$$a=\rho \text{.}\text{cos}a$$ $$\rho =a^2+b^2$$
$$\text{b}=\rho \text{.}\text{sen}a$$

ou $$a=\text{arc}\text{sen}\left(b/\rho \right)$$ $$a=\text{arc}\text{sen}\left(b/\rho \right)$$ ou ainda $$a=\text{arc}\text{cos}\left(a/\rho \right)$$

O mais interessante que Gauss conseguiu com essa representação foi dar uma interpretação visível para a soma e o produto entre esses números. Isso é importante, pois os complexos carecem da relação de ordem que reina entre os reais:

Dados a e b reais, temos necessariamente a = b ou a < b ou a > b, e esses fatos podem ser representados na reta real.
Para x e y complexos, só vamos até a = b ou $$a\ne b$$ .

SOMA - é como somar vetores usando a regra do paralelogramo.

PRODUTO - lembrando da propriedade associativa,

(a + bi) . (c + di) = c (a + bi) + di (a + bi),

pode-se consolidar o produto em duas etapas:

a) multiplicar o complexo a + bi pelo real c; isso equivale a multiplicar seu módulo e não alterar a sua orientação:

b) multiplicar o complexo a + bi pelo real d e depois promover uma rotação de 90^o no sentido anti-horário:

c) somar os dois vetores obtidos em a) e b):

Pelas mãos de Gauss, ainda se tem a prova de que os complexos são o melhor conjunto para se encontrar soluções de equações algébricas, por meio de sua tese de doutoramento, o Teorema Fundamental da Álgebra:

"Toda equação polinomial de coeficientes reais tem pelo menos uma raiz complexa."