Números complexos (3) - Conceito e representações

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Quem olhou o manual do candidato da Fuvest de 2007, na parte sobre o programa de matemática, deve ter se deparado com o trecho:

"1.4. Insuficiência dos números reais para a resolução de equações algébricas de 2^° e 3^° graus; o conceito de número complexo e suas representações - geométrica, algébrica e trigonométrica; interpretação algébrica e geométrica das operações e das raízes de números complexos - raízes da unidade."

Na verdade os números complexos não apresentam uma grande dificuldade de definição e utilização.

Dada a seguinte equação do segundo grau:

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

x^{2} - 2 x + 2 = 0

Aplicando-se a fórmula de Bhaskara, tem-se:

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2}

que não possui solução dentro dos números reais.

Para resolver isso, entra-se no campo dos números complexos.

Define-se que:

$i^{2} = - 1$

i^{2} = - 1

como sendo uma unidade imaginária.

Logo a resolução do problema acima fica:

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 . - 1}}{2} = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 1}}{2} = 1 \pm i$

x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 . - 1}}{2} = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 1}}{2} = 1 \pm i

Com duas soluções dentro do conjunto dos números complexos:

$\begin{matrix} x_{1} = 1 + i \\ x_{2} = 1 - i \end{matrix}$

\begin{matrix} x_{1} = 1 + i \\ x_{2} = 1 - i \end{matrix}

O conjunto dos números complexos é indicado pela letra C.

Uma forma de representar um número complexo é:

$z = a + b i$

z = a + b i

onde a é a parte real e b a parte chamada de imaginária.

Se a=0 então o número é chamado de imaginário puro.

Note que se b=0 z é um número real. Então todo número real é um número complexo:

$ℜ \subset ?$

ℜ \subset ?

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