Números complexos (7) - Formas algébrica e trigonométrica

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Dado um número complexo em sua forma algébrica:

$z = a + b i$

z = a + b i

Existe outra forma de representá-lo. A forma trigonométrica:

Pela figura, as fórmulas de transformação são:

$\begin{matrix} a = ρ . cos α \\ b = ρ . sen α \end{matrix}$

\begin{matrix} a = ρ . cos α \\ b = ρ . sen α \end{matrix}

Logo:

$z = ρ (cos α + i . sen α)$

z = ρ (cos α + i . sen α)

Onde:

$\begin{matrix} ρ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\ cos α = \frac{a}{ρ} \\ sen α \frac{b}{ρ} \end{matrix}$

\begin{matrix} ρ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\ cos α = \frac{a}{ρ} \\ sen α \frac{b}{ρ} \end{matrix}

Vamos a alguns exemplos:

1. Dado um número complexo na sua forma algébrica, escrevê-lo na sua forma trigonométrica:

$z = 2 \sqrt{3} + 2 i$

z = 2 \sqrt{3} + 2 i

Usando-se as fórmulas:

$ρ = \sqrt{a^{2} + b^{2} =} \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4.3 + 4} = \sqrt{16} = 4$

ρ = \sqrt{a^{2} + b^{2} =} \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4.3 + 4} = \sqrt{16} = 4

$\begin{matrix} cos α = \frac{a}{ρ} = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ sen α = \frac{b}{ρ} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \\ ∴ α = 3 0^{º} \end{matrix}$

\begin{matrix} cos α = \frac{a}{ρ} = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ sen α = \frac{b}{ρ} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \\ ∴ α = 3 0^{º} \end{matrix}

Então:

$z = 4 (cos 3 0^{º} + i . sen 3 0^{º})$

z = 4 (cos 3 0^{º} + i . sen 3 0^{º})

Outro exemplo:

2. Transformar em forma algébrica:

$z = 5 \sqrt{2} (cos 31 5^{º} + i . sen 31 5^{º})$ $\begin{matrix} cos 31 5^{º} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ sen 31 5^{º} = \frac{- \sqrt{2}}{2} \\ z = \frac{5 \sqrt{2} . \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} . \sqrt{2}}{2} i \\ z = 5 - 5 i \end{matrix}$

z = 5 \sqrt{2} (cos 31 5^{º} + i . sen 31 5^{º})

\begin{matrix} cos 31 5^{º} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ sen 31 5^{º} = \frac{- \sqrt{2}}{2} \\ z = \frac{5 \sqrt{2} . \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} . \sqrt{2}}{2} i \\ z = 5 - 5 i \end{matrix}

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