Números complexos (6) - Operações na forma algébrica

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

1. Adição

$\begin{matrix} z_{1} = a + b i \\ z_{2} = c + d i \\ z_{1} + z_{2} = a + b i + c + d i = (a + c) + (b + d) i \end{matrix}$

\begin{matrix} z_{1} = a + b i \\ z_{2} = c + d i \\ z_{1} + z_{2} = a + b i + c + d i = (a + c) + (b + d) i \end{matrix}

2. Subtração

$\begin{matrix} z_{1} = a + b i \\ z_{2} = c + d i \\ z_{1} - z_{2} = (a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i \end{matrix}$

\begin{matrix} z_{1} = a + b i \\ z_{2} = c + d i \\ z_{1} - z_{2} = (a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i \end{matrix}

3. Multiplicação

$\begin{matrix} z_{1} = a + b i \\ z_{2} = c + d i \\ z_{1} . z_{2} = (a + b i) . (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2} = a c + (a d + b c) i - b d \end{matrix}$ $z_{1} . z_{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i$

\begin{matrix} z_{1} = a + b i \\ z_{2} = c + d i \\ z_{1} . z_{2} = (a + b i) . (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2} = a c + (a d + b c) i - b d \end{matrix}

z_{1} . z_{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i

4. Divisão

$z_{1} = a + b i$ $z_{2} = c + d i$ $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{a + b i}{c + d i} = \frac{a + b i}{c + d i} = \frac{(a + b i) . (c - d i)}{(c + d i) . (c - d i)} = \frac{a c - a d i + b c i - b d i^{2}}{c^{2} - d^{2} i^{2}}$ $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a c + b d) + (b c - a d) i}{c^{2} + d^{2}} = \frac{a c + b d}{c^{2} + d^{2}} + \frac{b c - a d}{c^{2} + d^{2}} i$

z_{1} = a + b i

z_{2} = c + d i

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{a + b i}{c + d i} = \frac{a + b i}{c + d i} = \frac{(a + b i) . (c - d i)}{(c + d i) . (c - d i)} = \frac{a c - a d i + b c i - b d i^{2}}{c^{2} - d^{2} i^{2}}

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a c + b d) + (b c - a d) i}{c^{2} + d^{2}} = \frac{a c + b d}{c^{2} + d^{2}} + \frac{b c - a d}{c^{2} + d^{2}} i

Note que a fórmula da divisão de números complexos é muito "complexa", deve-se então dar preferência para a divisão direta dos números dados. Por exemplo:

$\begin{matrix} z_{1} = 5 + 2 i \\ z_{2} = 3 - 4 i \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{5 + 2 i}{3 - 4 i} = \frac{(5 + 2 i) . (3 + 4 i)}{(3 - 4 i) . (3 + 4 i)} = \frac{15 + 20 i + 6 i - 8}{9 + 16} = \frac{7}{25} + \frac{26}{25} i \end{matrix}$

\begin{matrix} z_{1} = 5 + 2 i \\ z_{2} = 3 - 4 i \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{5 + 2 i}{3 - 4 i} = \frac{(5 + 2 i) . (3 + 4 i)}{(3 - 4 i) . (3 + 4 i)} = \frac{15 + 20 i + 6 i - 8}{9 + 16} = \frac{7}{25} + \frac{26}{25} i \end{matrix}

A divisão deve ser feita seguindo o desenvolvimento da fórmula que, como se pode notar, é melhor do que simplesmente decorá-la.

Pesquisa escolar

Matemática

Números complexos (6) - Operações na forma algébrica

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