Números complexos (4) - Potências

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Segundo a definição de número complexo, a unidade imaginária seria:

$i^{2} = - 1$

i^{2} = - 1

A partir daí, algumas propriedades, como as suas potências, podem ser desenvolvidas:

$\begin{matrix} i^{0} = 1 \\ i^{1} = i \\ i^{2} = - 1 \\ i^{3} = i^{2} . i = - 1 . i = - i \\ i^{4} = i^{3} . i = - i . i = - i^{2} = - (- 1) = 1 \\ i^{5} = i^{4} . i = 1 . i = i \\ i^{6} = i^{5} . i = i . i = i^{2} - 1 \\ i^{7} = i^{6} . i = - 1 . i = - i \\ i^{8} = i^{7} . i = - i . i = - i^{2} = - (- 1) = 1 \end{matrix}$

\begin{matrix} i^{0} = 1 \\ i^{1} = i \\ i^{2} = - 1 \\ i^{3} = i^{2} . i = - 1 . i = - i \\ i^{4} = i^{3} . i = - i . i = - i^{2} = - (- 1) = 1 \\ i^{5} = i^{4} . i = 1 . i = i \\ i^{6} = i^{5} . i = i . i = i^{2} - 1 \\ i^{7} = i^{6} . i = - 1 . i = - i \\ i^{8} = i^{7} . i = - i . i = - i^{2} = - (- 1) = 1 \end{matrix}

Resumindo:

$\begin{matrix} i^{0} = 1 \\ i^{1} = i \\ i^{2} = - 1 \\ i^{3} = - i \\ i^{4} = 1 \\ i^{5} = i \\ i^{6} = - 1 \\ i^{7} = - i \\ i^{8} = 1 \end{matrix}$

\begin{matrix} i^{0} = 1 \\ i^{1} = i \\ i^{2} = - 1 \\ i^{3} = - i \\ i^{4} = 1 \\ i^{5} = i \\ i^{6} = - 1 \\ i^{7} = - i \\ i^{8} = 1 \end{matrix}

Note a alternância de 1, i, -1, -i. Logo, para:

$i^{n}$

i^{n}

com n natural.

Se n é múltiplo de 4, tem-se o valor 1:

$i^{20} = 1$

i^{20} = 1

E a alternância continua:

$i^{20} = 1$ $i^{21} = i$ $i^{22} = - 1$ $i^{23} = - i$

i^{20} = 1

i^{21} = i

i^{22} = - 1

i^{23} = - i

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