Demonstração de Bhaskara - Matemático do século 12 descobriu resposta para equação

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

(Atualizado em 1º/05/2014, às 11h29)

Uma equação de segundo grau tem a sua resolução ligada ao nome de um matemático do século 12. Essa resolução genérica, apresentada pelo matemático hindu Bhaskara Akaria, depende de uma série de caminhos matemáticos. Vejamos:

A equação a ser resolvida possui o seguinte formato genérico:

$a x^{2} + b x + c = 0 (I)$

a x^{2} + b x + c = 0 (I)

A conhecida fórmula de Bhaskara é:

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} (II)$

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} (II)

O caminho para se sair de (I) e se chegar a (II) é:

$a x^{2} + b x + c = 0$

a x^{2} + b x + c = 0

1. Multiplica-se ambos os membros por 4a:

$(4 a) \cdot (a x^{2} + b x + c) = 0 \cdot (4 a)$
$4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c = 0$

(4 a) \cdot (a x^{2} + b x + c) = 0 \cdot (4 a)

4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c = 0

2. Passar 4ac para o segundo membro:

$4 a^{2} x^{2} + 4 a b x = - 4 a c$

4 a^{2} x^{2} + 4 a b x = - 4 a c

3. Somar b² em ambos os membros:

$4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2} = b^{2} - 4 a c$

4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2} = b^{2} - 4 a c

Note que o primeiro membro se tornou um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado:

${(2 a x + b)}^{2} = b^{2} - 4 a c$

{(2 a x + b)}^{2} = b^{2} - 4 a c

4. Efetuando-se a raiz quadrada em ambos os termos:

${(2 a x + b)}^{2} = b^{2} - 4 a c$
$\sqrt{{(2 a x + b)}^{2} = \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}$
$2 a x + b = \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}$

{(2 a x + b)}^{2} = b^{2} - 4 a c

\sqrt{{(2 a x + b)}^{2} = \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}

2 a x + b = \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

5. Passando-se o "b" para o segundo membro:

2 a x = - b ± b 2 - 4 a c

6. Dividindo-se ambos os membros por 2a:

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

7. Simplificando:

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

C.Q.D. - Como se queria demonstrar (em latim, Q.E.D. Quod erat demonstrandum).

Nota: talvez a grande ideia de Bhaskara tenha sido obter um trinômio quadrado perfeito para poder fatorar e isolar a incógnita "x".

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