Enem - razão: Como calcular o volume de um paralelepípedo?

Antonio Rodrigues Neto, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Neste texto analisaremos a Questão 60 da prova amarela de matemática do Enem 2006. Para a resolução do problema apresentado é necessário saber como se calcula o volume de um paralelepípedo, que, no caso, é o formato da câmara onde ocorre o escoamento da água para que a embarcação atinja o nível da jusante.

Além disso, é essencial saber interpretar e identificar o conceito de razão, o que, neste caso, pode ser feito a partir do tipo de escoamento descrito na questão:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Interpretando a vazão como a razão entre o volume de água e o intervalo de tempo para o escoamento desse volume, poderemos aplicar a regra de três para obter o tempo gasto necessário para o nível de água baixar do ponto máximo até a jusante.

O primeiro passo para esse cálculo é identificar o volume de água no formato de um paralelepípedo com altura de 20 m, comprimento de 200 m e largura de 17 m:

V paralelepípedo = largura × comprimento × altura
V água do escoamento =  1 7 cm × 2 0 0 m × 2 0 m = 6 8 0 0 0 m 3

Como a vazão é de 4.200 metros cúbicos por minuto, com a regra de três calculamos o intervalo de tempo gasto para 68.000 metros cúbicos, com uma aproximação para 16 minutos, indicando a letra D como a alternativa correta:

Volume ........... Tempo
4200m³........... 1 minuto
68000m³........... t
4 2 0 0 × t = 6 8 0 0 0 × 1 t = 6 8 0 0 0 4 2 0 0 1 6 , 1 9

Observações

Uma abordagem interessante para este problema é calcular a variação do nível da água em função do tempo. Como já sabemos, a vazão (V) é a razão entre o volume da água no escoamento pelo respectivo tempo gasto, sendo que, para esta situação, as dimensões do volume serão de 17 m para a largura e 200 m para o comprimento, com a altura representada por "h", que indicará a variação do nível.

Assim, fazemos as relações e simplificações para escrever "h" em função do tempo:

volume água = 2 0 0 m × 1 7 m × h
volume água = 3 4 0 0 0 m 2 × h
V = volume água t V = 4 2 0 0 m 3 1 minuto
4 2 0 0 m 3 1 minuto = 3 4 0 0 m 2 × h t 4 2 0 0 m 3 × t 3 4 0 0 m 2 × 1 minuto
h = 2 1 1 7 m / min × t

Podemos ampliar esse resultado para outra função, com o objetivo de indicar a altura da coluna de água na câmara em função do tempo. Para isso, deveremos considerar o valor inicial da altura da coluna (a partir dos vinte metros), sabendo que o nível descerá a cada minuto. Assim, construiremos uma função decrescente, com declividade negativa, indicada pela expressão h(t), que é a variação do nível construída anteriormente:

H t = 2 0 - h t H t = 2 0 - 2 1 1 7 × t

Essa função, descrita com uma declividade negativa de 21/17 metros por minuto, pode determinar a medida da coluna de água na câmara para qualquer intervalo de tempo. Vejamos o resultado para t = 6 minutos:

H t = 2 0 - 2 1 1 7 × 6 H 1 2 , 6 m

Mas ainda há outro aspecto importante para esse tipo de questão: ele envolve a unidade de volume. Trata-se de interpretarmos esse tipo de unidade, que pode ser aplicada em outros contextos.

Em nosso cotidiano, utilizamos o litro como unidade habitual e seria interessante compararmos a relação do volume de água que escoa na eclusa com o que consumimos diariamente. Para isso, vamos calcular quantos litros equivalem a um metro cúbico, lembrando que, quando se fala "um litro", subentende-se "um decímetro cúbico".

Como o decímetro é a décima parte do metro (ou, dizendo de outra forma, o metro é dez vezes o decímetro), construímos a relação entre as duas unidades de volume a partir dessa informação:

1 m 3 = 1 m 3 = 1 0 dm 3 = 1 0 0 0 dm 3 = 1 0 0 0 litros

O volume da vazão, no escoamento de 4.200 metros cúbicos, pode ser transformado em litros, ficando 4.200 x 1000 = 4.200.000 litros por minuto.

Baseados em estimativas mundiais, os especialistas indicam que o ser humano adulto deve consumir, em média, 2 litros de água por dia, o que também causará vazão em alguma represa (uma vazão relacionada ao consumo e não à tecnologia aplicada para transportes de embarcações).

Agora, imagine uma cidade com uma população adulta igual a 7 milhões de habitantes, sendo que eles consomem, em média, 14 milhões de litros de água por dia (7 milhões x 2 litros de água por dia). Quantas vezes esse tipo de vazão é maior ou menor do que a vazão que ocorre na eclusa?

Na comparação dessas duas vazões não podemos nos esquecer de transformar as unidades de tempo na mesma base de cálculo. A opção é passar minuto para dia, ou dia para minuto, com as respectivas multiplicações para manter a proporção. Com esse procedimento, a vazão de água da eclusa é 432 vezes maior que o consumo de água na cidade do nosso exemplo. É o que mostra a resolução:

V Eclusa = 4 2 0 0 0 0 0 litros 1 minuto = 4 2 0 0 0 0 0 litros × 6 0 × 2 4 1 minuto × 6 0 × 2 4 = 4 2 0 0 0 0 0 × 6 0 × 2 4 litros 1 dia
V Eclusa V consumo de água = 4 2 0 0 0 0 0 × 6 0 × 2 4 1 dia 1 4 0 0 0 0 0 0 de litros 1 dia = 4 2 0 0 0 0 0 × 6 0 × 2 4 litros 1 4 0 0 0 0 0 0 de litros = 3 × 6 × 2 4 = 4 3 2

 

Antonio Rodrigues Neto, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação professor de matemática no ensino fundamental e superior, é mestre em educação pela USP e autor do livro "Geometria e Estética: experiências com o jogo de xadrez" pela Editora da UNESP

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