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1. Adição e subtração de arcos, arco duplo, transformação em produto



1.1. Adição e subtração de arcos

A partir das relações básicas da trigonometria:
 

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E das relações geométricas do círculo trigonométrico, podem-se deduzir as relações trigonométricas para a soma e diferença de dois arcos:
 

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Relações estas muito importantes para a resolução de equações e inequações trigonométricas.

1.2. Arco duplo

Usando-se as relações acima para quando os arcos forem iguais:

sin (α + α) = sin α cos α + sin α cos α

Ou:

sin (2 α) = 2 sin α cos α

Analogamente para o cosseno e tangente.

Em síntese:
 

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1.3. Transformação de soma em produto de arcos

De posse das relações trigonométricas de soma e subtração de arcos pode-se deduzir as relações transformação de somas e subtrações em produto:
 

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Além dessas relações vale enfatizar os valores das variáveis trigonométricas dos arcos notáveis:
 

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2. Resolução de equações e inequações trigonométricas



2.1. Equações trigonométricas

Existem várias maneiras de se resolver uma equação trigonométrica que envolva a soma ou a subtração de arcos. Pode-se destacar algumas delas como exemplos:

a) Soma de arcos
 

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→ deve-se usar a fórmula do seno da soma de dois arcos.
 

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Como e :
 

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Assim, nosso arcos de referência são:
 

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Logo

b) Arco duplo

(sin α + cos α)2 = 1 com 0 ≤ α ≤ 2π

Elevando o primeiro termo ao quadrado, teremos:

sin2α + 2sinαcosα + cos2α = 1

sabemos que: sin2α + cos2α = 1 (relação fundamental), então:

1 + 2sinαcosα = 1

2sinαcosα = 0

Aplicando a fórmula do seno do arco duplo, temos:

sin2α = 0, portanto

2α = 0, e α = 0
2α = π, e α = π/2
2α = 2π, e α = π
2α = 3π, e α = 3π/2,

que são os valores que atendem à condição 0 ≤ α ≤ 2π.

Logo

S = { 0, π/2, π, 3π/2 }

c) Transformação de soma em produto

cos3α + cosα = 0 com 0 ≤ α ≤ 2π.

Aplicando a fórmula para transformar a soma de dois cossenos em produto:
 

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2cos2αcosα = 0

cos2αcosα = 0

Temos, portanto:

cos2α = 0, 2α = π/2 e α = π/4, ou 2α = 3π/2 e α = 3π/4

ou

cosα = 0, então α = π/2 ou α = 3π/2

sendo assim, as quatro soluções para a nossa equação são:

S = { π/4, π/2, 3π/4, 3π/2 }
 

3. Inequações trigonométricas



As inequações trigonométricas seguem as mesmas técnicas de resoluções das equações, porém a resposta leva em consideração o círculo trigonométrico. Por exemplo:

sin α ≥ cos α/4
 

 

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Nosso ângulo de referência será .

Mais uma vez, utilizando a primeira redução acima, teremos como outra solução:
 

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Observando então o círculo trigonométrico, tendo assinalado e :
 

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Para que o seno seja maior ou igual precisa estar entre 45o e 135o, então:
 

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