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Matemática

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Para aprender como fazer cálculos de análise combinatória, útil para determinar probabilidades, veja um exercício resolvido:

Escrito há cerca de 3 mil anos, o "I - Ching" ou "Livro das Mutações" apresenta um conjunto de símbolos criados a partir de dois princípios (o masculino Yang, representado por uma linha inteira -, e o feminino Ying, representado por uma linha quebrada - - ).

Entre outras funções, esse conjunto de símbolos permitiria adivinhar o futuro, o que torna o livro muito popular ainda hoje em dia. A base do sistema é um conjunto de três símbolos montados com as linhas Ying e Yang, que se constróem do seguinte modo:

1º símbolo2º símbolo3º símbolo

A essas figuras chamadas Pa-Kua (as Oito Mutações), atribuíam-se nomes, características, imagens, papéis numa estrutura familiar, além dos pontos cardeais, como se vê a seguir:

NorteNordesteLesteSudeste
SulSudoesteOesteNoroeste

 

Combinando-se dois desses trigramas, obtém-se um hexagrama, figura de significado ainda mais amplo, que constitui a resposta do oráculo a uma pergunta de quem o consulta. Por exemplo:

 

 

 

 

Sem entrar nas questões de caráter filosófico ou oracular do I-Ching, podemos nos perguntar: quantos hexagramas é possível formar com cada dois trigramas?

1º trigrama2º trigramaTotal: 64 hexagramas
8 possibilidades8 possibilidades 

 

Pensando de forma análoga, podemos considerar que se constrói um hexagrama escolhendo seis símbolos de um grupo de dois (linha inteira, linha quebrada). Assim, o total de símbolos será 26 = 64.

Usamos aqui um princípio multiplicativo que é a base da análise combinatória, um conjunto de procedimentos que sistematiza a contagem de agrupamentos.

O princípio fundamental da contagem

Um evento ocorre em n etapas, sucessivas e independentes, de modo que a primeira etapa ocorre de k1 maneiras, a segunda etapa ocorre de k2 maneiras, ..., e a enésima etapa ocorre de kn. Então, o evento pode ocorrer de k1, k2, ... .Kn maneiras distintas.

Essa é a versão multiplicativa do princípio: para que ocorra o evento, todas as etapas devem ser cumpridas. Por exemplo: para se escolher um número de três algarismos, devemos escolher o algarismo das unidades e das dezenas e também das centenas - não se podem omitir quaisquer etapas. Se as etapas não forem sucessivas, mas alternativas, o princípio fica enunciado assim:

Um evento ocorre em n etapas, alternativas e independentes, de modo que a primeira etapa ocorre de k1 maneiras, a segunda etapa ocorre de k2 maneiras, ..., e a enésima etapa ocorre de k2. Então, o evento pode ocorrer de k12 + ... + Kn maneiras distintas.

Se, para o seu almoço, você pode escolher um lanche com ou sem maionese, então você pode escolher entre dois lanches!

Agrupamentos

De modo geral, pode-se resolver um grande número de situações de contagem usando os princípios fundamentais. No entanto, alguns conjuntos podem ser agrupados por critérios que facilitam a sua compreensão; compreender a que classe de agrupamento pertence a situação que estamos tratando pode facilitar muito a resolução.

Arranjos: são agrupamentos nos quais a ordem dos elementos é relevante. Três pessoas (A, B, C) que se inscrevem em um concurso que premia os dois primeiros lugares podem dar a esse concurso seis classificações distintas:

1º lugar2º lugar
AB
AC
BA
BC
CA
CB

 

Observe que duas mesmas pessoas podem terminar o concurso de duas maneiras distintas.

O número de arranjos possíveis de p elementos tirados de um grupo de n elementos, com n p pode ser escrito como:

A n , p = n ! ( n - p ) !

Combinações: são agrupamentos em que a ordem dos elementos não é relevante. No exemplo anterior, se as pessoas A, B e C tivessem que se organizar para formar uma comissão de duas pessoas, só haveria três possibilidades : A e B, A e C, B e C. O número de combinações de p elementos tirados de um grupo de n elementos, com n p é:

C n , p = n ! ( n - p ) ! . p !

As permutações são casos particulares de arranjos em que o número de elementos do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis:

P n = A n ,n = n ! ( n - n ) ! = n !

A sistemática da análise combinatória não é novidade. Em toda a história do desenvolvimento matemático do homem aparecem registros de investigações nos cálculos de possíveis agrupamentos:

  • Na obra de Euclides (300 a.C.) há um método para se encontrar o valor de (1 + x)2;
  • Além da fórmula resolutiva para equações de 2o grau, Baskhara descreveu algumas situações práticas em que se permutam possibilidades - na poesia, na arquitetura e na medicina;
  • Trabalhos do início da Era Cristã relacionados à cabala analisam combinações e permutações entre números inteiros;
  • Astrônomos da Idade Média calculavam as possíveis conjunções entre dois, três, n planetas,
  • À época do Renascimento, a pressão das recentes descobertas e necessidades mercantis fizeram com que matemáticos europeus desenvolvessem a sistemática de combinatória na descrição de várias circunstâncias: as possibilidades de n pessoas se sentarem em torno de uma mesa, as combinações possíveis de fechaduras, os agrupamentos possíveis de objetos e, naturalmente, as chances nos jogos de azar.
  • Apesar de tantas outras motivações, foi o interesse pelos jogos de azar a grande motivação para o desenvolvimento da análise combinatória, nos trabalhos de Pascal e Fermat. Naturalmente, outros ramos da matemática usaram esse conhecimento e vieram a se desenvolver: a probabilidade, a teoria de grafos, os conjuntos e a criptologia. A chance de jogos como a MegaSena é um saber relacionado à análise combinatória.

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