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Matemática

Conjuntos - Operações - Relações de pertinência e inclusão

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

(Atualizado em 28/04/2014, às 16h24)

Conjunto é o agrupamento de elementos com características comuns.

O nome de um conjunto sempre é dado por uma letra maiúscula do nosso alfabeto.

As principais formas de representação de um conjunto são:

  • por extenso: A = {0, 1, 3};
  • por descrição: P = {x | x é par};

por diagrama de Venn-Euler:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Um conjunto pode ter um número finito de elementos (conjunto finito), como o conjunto A ou o conjunto D acima, ou pode ser formado por infinitos elementos (conjunto infinito), como o conjunto P acima ou um conjunto numérico.

Além disso, um conjunto pode ser unitário, quando possui apenas um elemento:

Y = {x | x é par e é primo} = {2}.

Ou pode ser vazio, caso não haja nenhum elemento com a característica procurada:

W = {x | x é par e ímpar}.

Há ainda, na resolução de problemas e equações, o conjunto que deve conter todas as soluções possíveis, o conjunto universo.

Relações de Pertinência e Inclusão

Quando um elemento está em um conjunto, dizemos que ele pertence a esse conjunto. Exemplos:

F = { 0, 2, 4, 6, 8, ...}

2 ∈ F - lê-se: 2 pertence a F.
3 ∉ F - lê-se: 3 não pertence a F.

Já entre conjuntos, é errado usar a relação de pertinência. Assim, utilizamos as relações de inclusão.

G = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

F ⊂ G - lê-se: F está contido em G.

G ⊄F- lê-se: G não está contido em F

G ⊃F - lê-se: G contém F.

As principais operações com conjuntos são:

  • União
    Exemplo: dados A = { 0, 1, 2, 3} e B = { 2, 3, 4, 5}, a união é o conjunto formado pela reunião dos elementos de A e de B.

    Representação: A ∪ B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}.  
     
  • Diferença
    Exemplo: dados A = { 0, 1, 2, 3} e B = { 2, 3, 4, 5}, a diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos exclusivos de A, isto é, retira-se de A o que for comum com B.

    Representação: A - B = { 0, 1}.

    CUIDADO: há um engano muito comum nessa operação, que é pensar em todos os elementos que aparecem, menos os repetidos, ou seja, achar que a diferença seria dada, nesse exemplo, por { 0, 1, 4, 5}.
     
  • Intersecção
    Exemplo: dados A = { 0, 1, 2, 3} e B = { 2, 3, 4, 5}, a intersecção é o conjunto formado pelos elementos comuns de A e B, isto é, pelos elementos "repetidos".

    Representação: A ∩ B = { 2, 3}.

Produto Cartesiano

Exemplo: dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4} e B = { 3, 4, 5}, o produto cartesiano de A por B é o conjunto formado por todos os pares possíveis formados com os elementos de A e de B. Esses pares são chamados de ordenados, pois cada um é formado por um elemento de A e um elemento de B, nessa ordem.

Representação:

A × B = { 1 , 3 , ( 1 , 4 ) , 1 , 5 , 2 , 3 , 2 , 4 , 2 , 5 , 3 , 3 , 3 , 4 , 3 , 5 , 4 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 }

ou

ou ainda no Plano Cartesiano:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • Complementar

É uma modalidade de diferença de conjuntos, que ocorre quando um conjunto está contido em outro.

Exemplo: dados A = { 0, 1, 2, 3} e B = { 2, 3}, o complementar de B em A é a diferença A - B.

Representação: CAB = A - B = { 0, 1}.

Já o complementar de A em B é a diferença B - A.

Representação: CBA = B - A= { }.

Cardinalidade Cardinalidade é o número de elementos do conjunto.

Representação:

n(A) = 3 - (o número de elementos do conjunto A = { 0, 1, 3} é 3)

Cardinalidade da união:

n(A ∪ B = n(A) + n(B) - n(A ∩ " B)

O número de elementos da união de dois conjuntos é igual à soma do número de elementos de cada conjunto, menos a quantidade de elementos repetidos.

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