Diagonais de um polígono convexo - Como calcular o número de diagonais?

Dado um polígono convexo qualquer, diagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos (ou adjacentes).

Exemplos:

Um triângulo não possui diagonais, pois, como só possui três vértices, não é possível unir dois vértices não consecutivos.

Cálculo do número de diagonais

Vamos aprender a calcular o número de diagonais de um polígono convexo qualquer.

Basta observar os exemplos:

Na figura 1, temos 5 vértices no total. Do vértice A, podemos traçar diagonais para os vértices C e D, que não são adjacentes a ele. Do vértice B, podemos traçar diagonais para os vértices D e E, seus não adjacentes. Assim, de cada vértice, é possível traçar 2 diagonais, pois são 5 vértices, menos 2 adjacentes e o próprio vértice considerado.

Se pensássemos em 2 diagonais por vértice, teríamos 2 x 5 = 10 diagonais. No entanto, podemos observar só 5. Isso ocorre porque as diagonais AD e DA são a mesma diagonal.

Na figura 2, ocorre a mesma coisa: temos 4 vértices e, descontando, para cada vértice, os dois vértices adjacentes e o próprio vértice considerado, teremos 1 diagonal por vértice e 4 x 1 = 4 diagonais ao todo. No entanto, só temos 2, pelo mesmo motivo da figura 1.

Na figura 3, são 6 vértices ao todo. Se descontarmos, para cada vértice, 3 vértices para onde não podemos traçar diagonais, teremos 3 diagonais por vértice e 6 x 3 = 18 diagonais ao todo. No entanto, só podemos observar 9.

Na figura 4, são 7 vértices ao todo. Se descontarmos, para cada vértice, 3 vértices para onde não podemos traçar diagonais, teremos 4 diagonais por vértice e 7 x 4 = 28 diagonais ao todo. No entanto, só podemos observar 14.

A partir desses exemplos, podemos observar a regularidade e generalizar, para qualquer polígono.

Assim, para um polígono convexo qualquer, podemos achar o número de diagonais d a partir do número n de vértices da seguinte forma:

- descontando de n os 3 vértices para onde não podem ser traçadas diagonais (os 2 adjacentes e ele mesmo): n - 3;
- multiplicando o resultado obtido pelo número de vértices: n . (n - 3) ;
- dividindo o resultado obtido por 2, devido às diagonais repetidas:

Assim, a fórmula que calcula o número de diagonais de um polígono convexo qualquer é: