Enem - razão - Como calcular o volume de um paralelepípedo?

Antonio Rodrigues Neto, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Neste texto analisaremos a Questão 60 da prova amarela de matemática do Enem 2006. Para a resolução do problema apresentado é necessário saber como se calcula o volume de um paralelepípedo, que, no caso, é o formato da câmara onde ocorre o escoamento da água para que a embarcação atinja o nível da jusante.

Além disso, é essencial saber interpretar e identificar o conceito de razão, o que, neste caso, pode ser feito a partir do tipo de escoamento descrito na questão:

Interpretando a vazão como a razão entre o volume de água e o intervalo de tempo para o escoamento desse volume, poderemos aplicar a regra de três para obter o tempo gasto necessário para o nível de água baixar do ponto máximo até a jusante.

O primeiro passo para esse cálculo é identificar o volume de água no formato de um paralelepípedo com altura de 20 m, comprimento de 200 m e largura de 17 m:

$V_{paralelepípedo} = (largura) \times (comprimento) \times (altura)$
$V_{água do escoamento = (17 cm) \times (200 m) \times (20 m) = 68000 m^{3}}$

V_{paralelepípedo} = (largura) \times (comprimento) \times (altura)

V_{água do escoamento = (17 cm) \times (200 m) \times (20 m) = 68000 m^{3}}

Como a vazão é de 4.200 metros cúbicos por minuto, com a regra de três calculamos o intervalo de tempo gasto para 68.000 metros cúbicos, com uma aproximação para 16 minutos, indicando a letra D como a alternativa correta:

Volume ........... Tempo
4200m³........... 1 minuto
68000m³........... t
$\Rightarrow 4200 \times t = 68000 \times 1 \Rightarrow t = \frac{68000}{4200} ≅ 16, 19$

Volume ........... Tempo

4200m³........... 1 minuto

68000m³........... t

\Rightarrow 4200 \times t = 68000 \times 1 \Rightarrow t = \frac{68000}{4200} ≅ 16, 19

Observações

Uma abordagem interessante para este problema é calcular a variação do nível da água em função do tempo. Como já sabemos, a vazão (V) é a razão entre o volume da água no escoamento pelo respectivo tempo gasto, sendo que, para esta situação, as dimensões do volume serão de 17 m para a largura e 200 m para o comprimento, com a altura representada por "h", que indicará a variação do nível.

Assim, fazemos as relações e simplificações para escrever "h" em função do tempo:

${volume}_{água} = 200 m \times 17 m \times h$
${volume}_{água} = 34000 m^{2} \times h$
$V = \frac{{volume}_{água}}{t} \Rightarrow V = \frac{4200 m^{3}}{1 minuto}$
$\frac{4200 m^{3}}{1 minuto} = \frac{3400 m^{2} \times h}{t} \Rightarrow \frac{4200 m^{3} \times t}{3400 m^{2} \times 1 minuto}$
$h = (\frac{21}{17} m / min) \times t$

{volume}_{água} = 200 m \times 17 m \times h

{volume}_{água} = 34000 m^{2} \times h

V = \frac{{volume}_{água}}{t} \Rightarrow V = \frac{4200 m^{3}}{1 minuto}

\frac{4200 m^{3}}{1 minuto} = \frac{3400 m^{2} \times h}{t} \Rightarrow \frac{4200 m^{3} \times t}{3400 m^{2} \times 1 minuto}

h = (\frac{21}{17} m / min) \times t

Podemos ampliar esse resultado para outra função, com o objetivo de indicar a altura da coluna de água na câmara em função do tempo. Para isso, deveremos considerar o valor inicial da altura da coluna (a partir dos vinte metros), sabendo que o nível descerá a cada minuto. Assim, construiremos uma função decrescente, com declividade negativa, indicada pela expressão h(t), que é a variação do nível construída anteriormente:

$H (t) = 20 - h (t) \Rightarrow H (t) = 20 - \frac{21}{17} \times t$

H (t) = 20 - h (t) \Rightarrow H (t) = 20 - \frac{21}{17} \times t

Essa função, descrita com uma declividade negativa de 21/17 metros por minuto, pode determinar a medida da coluna de água na câmara para qualquer intervalo de tempo. Vejamos o resultado para t = 6 minutos:

$H (t) = 20 - \frac{21}{17} \times 6 \Rightarrow H ≅ 12, 6 m$

H (t) = 20 - \frac{21}{17} \times 6 \Rightarrow H ≅ 12, 6 m

Mas ainda há outro aspecto importante para esse tipo de questão: ele envolve a unidade de volume. Trata-se de interpretarmos esse tipo de unidade, que pode ser aplicada em outros contextos.

Em nosso cotidiano, utilizamos o litro como unidade habitual e seria interessante compararmos a relação do volume de água que escoa na eclusa com o que consumimos diariamente. Para isso, vamos calcular quantos litros equivalem a um metro cúbico, lembrando que, quando se fala "um litro", subentende-se "um decímetro cúbico".

Como o decímetro é a décima parte do metro (ou, dizendo de outra forma, o metro é dez vezes o decímetro), construímos a relação entre as duas unidades de volume a partir dessa informação:

$1 m^{3} = {(1 m)}^{3} = {(10 dm)}^{3} = 1000 {dm}^{3} = 1000 litros$

1 m^{3} = {(1 m)}^{3} = {(10 dm)}^{3} = 1000 {dm}^{3} = 1000 litros

O volume da vazão, no escoamento de 4.200 metros cúbicos, pode ser transformado em litros, ficando 4.200 x 1000 = 4.200.000 litros por minuto.

Baseados em estimativas mundiais, os especialistas indicam que o ser humano adulto deve consumir, em média, 2 litros de água por dia, o que também causará vazão em alguma represa (uma vazão relacionada ao consumo e não à tecnologia aplicada para transportes de embarcações).

Agora, imagine uma cidade com uma população adulta igual a 7 milhões de habitantes, sendo que eles consomem, em média, 14 milhões de litros de água por dia (7 milhões x 2 litros de água por dia). Quantas vezes esse tipo de vazão é maior ou menor do que a vazão que ocorre na eclusa?

Na comparação dessas duas vazões não podemos nos esquecer de transformar as unidades de tempo na mesma base de cálculo. A opção é passar minuto para dia, ou dia para minuto, com as respectivas multiplicações para manter a proporção. Com esse procedimento, a vazão de água da eclusa é 432 vezes maior que o consumo de água na cidade do nosso exemplo. É o que mostra a resolução:

$V_{Eclusa} = \frac{4200000 litros}{1 minuto} = \frac{4200000 litros \times 60 \times 24}{1 minuto \times 60 \times 24} = \frac{4200000 \times 60 \times 24 litros}{1 dia}$
$\frac{V_{Eclusa}}{V_{consumo de água}} = \frac{\frac{4200000 \times 60 \times 24}{1 dia}}{\frac{14000000 de litros}{1 dia}} = \frac{4200000 \times 60 \times 24 litros}{14000000 de litros} = 3 \times 6 \times 24 = 432$

V_{Eclusa} = \frac{4200000 litros}{1 minuto} = \frac{4200000 litros \times 60 \times 24}{1 minuto \times 60 \times 24} = \frac{4200000 \times 60 \times 24 litros}{1 dia}

\frac{V_{Eclusa}}{V_{consumo de água}} = \frac{\frac{4200000 \times 60 \times 24}{1 dia}}{\frac{14000000 de litros}{1 dia}} = \frac{4200000 \times 60 \times 24 litros}{14000000 de litros} = 3 \times 6 \times 24 = 432

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