Equação biquadrada (1) - Como resolvê-la facilmente

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Algumas equações "têm cara" de ser de quarto grau, mas podem ser resolvidas pelas mesmas técnicas que utilizamos para resolver as equações de 2º grau. São as equações biquadradas, tipo de equação em que aparecem a incógnita (x) aparece elevada ao quadrado e à quarta potência (⁴).

Uma equação biquadrada tem a seguinte forma:

$a x^{4} + b x^{2} + c = 0$

a x^{4} + b x^{2} + c = 0

Apesar dos expoentes altos, esse tipo de equação se resolve de modo relativamente simples.

Como resolver equações biquadradas

A resolução desse tipo de equação é simples. Primeiro, leve em conta que:

a. Ela é uma equação de 4º grau logo possui até 4 raízes;

b. Não possui expoentes ímpares.

Depois deve-se usar uma outra variável da seguinte forma:

y = x^{2}

E substituí-la na biquadrada, que fica assim:

$a y^{2} + b y + c = 0$

a y^{2} + b y + c = 0

Ou seja, aí temos uma equação de 2º grau, convencional.

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$

x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0

Mas:

$y = x^{2}$

y = x^{2}

Logo:

$y^{2} - 13 y + 36 = 0$

y^{2} - 13 y + 36 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau:

$y = \frac{13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 • 1 • 36}}{2 • 1} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2}$

y = \frac{13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 • 1 • 36}}{2 • 1} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2}

$\begin{matrix} y = \frac{13 \pm 5}{2} \\ y_{1} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9 \\ y_{2} \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \end{matrix}$

\begin{matrix} y = \frac{13 \pm 5}{2} \\ y_{1} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9 \\ y_{2} \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \end{matrix}

A equação ainda não está resolvida. Lembre-se de que o problema era para achar x, não y. Por isso, continuando:

Se $y = x^{2}$ então:

$x^{2} = y$ e $x = \pm \sqrt{y}$

x^{2} = y

x = \pm \sqrt{y}

Para

$y_{1} = 9$

y_{1} = 9

$x = \pm \sqrt{9}$ $\begin{matrix} \end{matrix}$ x 1 = + 3 e x 2 = - 3

x = \pm \sqrt{9}

\begin{matrix}  \end{matrix}

x 1 = + 3

x 2 = - 3

Para

$y_{2} = 4$

y_{2} = 4

$\begin{matrix} x = \pm \sqrt{4} \\ x_{3} = + 2 \\ x_{4} = - 2 \end{matrix}$

\begin{matrix} x = \pm \sqrt{4} \\ x_{3} = + 2 \\ x_{4} = - 2 \end{matrix}

Logo as raízes são:

$- 3, - 2, + 2, + 3$

- 3, - 2, + 2, + 3

Pesquisa escolar

Matemática

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