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Atualizado em 19/12/2012, às 9h16
1. Equação reduzida da circunferência
Circunferência é lugar geométrico dos pontos de um plano que distam igualmente, ou seja, de uma mesma medida – chamada raio, de um ponto fixo denominado centro.
Obs.: A circunferência é uma linha, enquanto o círculo é a figura plana delimitada pela circunferência.
A dedução da equação da circunferência segue a definição, o lugar geométrico dos pontos (x,y) equidistantes do centro C(xc, yc da medida R.
Então:
(x - xc)2 + (y – yc)2 = R2 → esta é a chamada equação reduzida da circunferência.
Por exemplo: a equação reduzida de uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7) será:
(x – 5)2 + (y + 7)2 = 82
Ou:
2. Equação geral da circunferência
A equação geral de uma circunferência é definida quando se desenvolve a equação reduzida. Assim:
(x – xc)2 + (y –yc)2 = R2
(x2 – 2xcx + x2c) + (y2 – 2ycy + y2c ) = R2
Reagrupando: x2 + y2 – 2xcx – 2yc y + x2c + y2c – R2 = 0
Ou de uma maneira generalizada:
x2 + y2 + mx + ny + p = 0 → está é a equação geral da circunferência.
Onde:
Por exemplo, para uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7):
x2 + y2 – 2 . 5. x – 2 . (–7)y + 52 + (–7)2 – 82 = 0
3. Determinação de centro e raio a partir da equação geral
Para se determinar o centro e o raio de uma circunferência a partir da equação geral
x2y2 + mx + nx + p = 0
utilizam-se as equações (I), deduzindo-se que:
Por exemplo, para a circunferência exemplificada,
Logo:
C(5,-7) e o raio R=8.
Veja errata.
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