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1. Equações trigonométricas


Normalmente as equações trigonométricas dependem de algumas identidades fundamentais e também de reduções básicas dos arcos ao primeiro quadrante.

Identidades fundamentais e derivações básicas
(note-se que a primeira delas é a equação fundamental da trigonometria):
 

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As reduções básicas ao primeiro quadrante são:

Para o seno:
 

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Pela figura acima pode-se notar que:
sin(π – α) = sin α

da mesma maneira:
sin(π + α) = –sin α
sin(2π – α) = –sin α

Analogamente:
cos(π – α) = –cos α
cos(π + α) = –cos α
cos(2π + α) = cos α

e
tan(π – α) = –tan α
tan(π + α) = tan α
tan(2π + α) = –tan α

Algoritmo de resolução

Existem várias maneiras de se resolver uma equação trigonométrica, das quais podemos destacar algumas. Eis alguns exemplos, para o caso de haver somente uma incógnita, ou seja, um ângulo a ser encontrado:

a) A equação apresenta mais de uma função trigonométrica envolvida. Neste caso, utilizam-se as identidades fundamentais e eventuais relações derivadas que se fizerem necessárias.

Exemplo:
tan α + cot α = 2 com 0 ≤ α ≤ 2π

- tenta-se reduzir todos os termos a seno e cosseno:

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- tenta-se reduzir a equação a termos mais simples:

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lembrando a equação fundamental temos:

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2 sin α cos α = 1

Lembrando que temos uma relação derivado onde:
sin 2 α = 2sin α cos α

Teremos: sin 2 α = 1 ∴ 2 α = 90o e α = 45o

Devemos lembrar também que para valores de sin2 α ≠ 1 (inclusive para sin2 α = 0), teremos sempre dois valores do ângulo para o intervalo considerado (0 ≤ α ≤ 2π), no primeiro e segundo quadrantes (v. acima, a primeira redução básica do seno).

b) A equação apresenta apenas uma função trigonométrica. Neste caso, podemos resolver a equação por meio de uma mudança de variável.

Exemplo:
2 sin2 α + 5 sin α = 3 com α ∈ |R

Substitui-se sin α = y:
2y2 + 5y – 3 = 0

Resolve-se a equação de segundo grau em y:

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Retornando a substituição:
y = sin α – 3 = sin α → não serve pois –1 ≤ sin α ≤ 1

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2. Inequações trigonométricas


As inequações trigonométricas seguem as mesmas técnicas de resoluções que as equações. A resposta, porém, deve levar em consideração o círculo trigonométrico.

Por exemplo:

a) Para o seno:

Suponhamos que após a aplicação dos algoritmos propostos acima resulte:

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Nosso ângulo de referência será .

Mais uma vez, utilizando a primeira redução acima, teremos como outra solução:

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Observando então o círculo trigonométrico, tendo assinalado

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e
 

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Para que o seno seja maior ou igual precisa estar entre 45o e 135o, então:

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b) Para o cosseno:

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O círculo trigonométrico ficará para :
Nosso outro valor de referência é (v. acima reduções para o cosseno).

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