Equações exponenciais (2) - Formas de resolução

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Veja as equações, no universo dos reais:

1) $3 x - 6 = 0$
Essa equação (de 1^o grau) fica resolvida quando "isolamos" a incógnita x. Assim:

$3 x - 6 = 0$
$3 x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$
$S = {2}$

3 x - 6 = 0

3 x = 6

x = \frac{6}{3}

x = 2

S = {2}

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

x^{2} - 5 x + 6 = 0

Já essa equação (de 2^o grau) é resolvida, entre outras formas, pela fórmula resolutiva de equação do 2^o grau, ou fórmula de Bhaskara:

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$
$Δ = b^{2} - 4 a c$
$Δ = {(- 5)}^{2} - 4.1.6$
$Δ = 25 - 24$
$Δ = 1$
$x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{1}}{2.1}$
$x_{1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$S = {2, 3}$

x^{2} - 5 x + 6 = 0

Δ = b^{2} - 4 a c

Δ = {(- 5)}^{2} - 4.1.6

Δ = 25 - 24

Δ = 1

x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{1}}{2.1}

x_{1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2

x_{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3

S = {2, 3}

3) $3^{x} = 81$
Nesse caso, não é possível nem isolar a incógnita - pois x é o expoente -, nem utilizar uma fórmula resolutiva.

A ideia aqui é: o 3 deve ser elevado a qual expoente para resultar em 81?

A resposta é 4. Ou porque sabemos que $3^{4} = 81$ , ou porque, fatorando 81, obtemos ${81 = 3}^{4}$
Mas nem sempre é possível pensar assim e obter o valor da incógnita de imediato. Tente desenvolver o mesmo raciocínio na equação $3^{2 x} - 12 . 3^{x} = 27$
Equações que apresentam a incógnita no expoente são chamadas de equações exponenciais.

De forma prática, existem duas tentativas possíveis de resolução:

1^a) Escrever os dois membros da equação na mesma base, usando fatoração ou propriedades das potências, dependendo do caso:

a)

$3^{x} = 81$
$3^{x} = 3^{4}$

3^{x} = 81

3^{x} = 3^{4}

Como se trata de uma igualdade e as bases são iguais nos dois membros (3), podemos trabalhar apenas com os expoentes:

$3^{x} = 3^{4}$
$x = 4$
$S = {4}$

3^{x} = 3^{4}

x = 4

S = {4}

$5 . 5^{x} = \sqrt{5}$

5 . 5^{x} = \sqrt{5}

Aqui devemos nos lembrar de algumas das propriedades das potências:

$a^{1} = a$
${a^{m} . a^{n}}^{} = a^{m + n}$
$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$
$a, m, n \in Q$

a^{1} = a

{a^{m} . a^{n}}^{} = a^{m + n}

\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}

a, m, n \in Q

Assim:

$5 . 5^{x} = \sqrt{5}$
$5^{1} . 5^{x} = \sqrt[2]{5^{1}}$
$5^{1 + x} = 5^{\frac{1}{2}}$
$1 + x = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{2} - 1$
$x = - \frac{1}{2}$
$S = {- \frac{1}{2}}$

5 . 5^{x} = \sqrt{5}

5^{1} . 5^{x} = \sqrt[2]{5^{1}}

5^{1 + x} = 5^{\frac{1}{2}}

1 + x = \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2} - 1

x = - \frac{1}{2}

S = {- \frac{1}{2}}

2^a) Usar substituição
a) $3^{2 x} - 12 . 3^{x} = 27$ Nesse caso, percebemos não ser possível escrever os dois membros da igualdade na base que está elevada a x (base 3), pois 12 não pode ser fatorado só na base 3 e, além disso, não existe uma propriedade das potências que reduza a subtração de potências de mesma base a uma só potência

$(a^{?} - a^{″}) = ?, com a, m, n \in Q$

(a^{?} - a^{″}) = ?, com a, m, n \in Q

Observe, então, a estratégia:
Utilizaremos outra propriedade das potências

${(a^{?})}^{″} = a^{m . n}$
$a, m, n \in Q$
$3^{2 x} - 12 . 3^{x} = 27$
$3^{2 x} - 12 . 3^{x} - 27 = 0$
${(3^{x})}^{2} - 12 . 3^{x} - 27 = 0$

{(a^{?})}^{″} = a^{m . n}

a, m, n \in Q

3^{2 x} - 12 . 3^{x} = 27

3^{2 x} - 12 . 3^{x} - 27 = 0

{(3^{x})}^{2} - 12 . 3^{x} - 27 = 0

Agora substituiremos por uma variável qualquer (y, por exemplo):

${(3^{x})}^{2} - 12 . 3^{x} - 27 = 0$
$y^{2} - 12 y - 27 = 0$

{(3^{x})}^{2} - 12 . 3^{x} - 27 = 0

y^{2} - 12 y - 27 = 0

E teremos apenas que resolver uma equação do 2^o grau!

$y^{2} - 12 y - 27 = 0$
$Δ = {(- 12)}^{2} - 4.1 . (- 27)$
$Δ = 144 - 108 = 36$
$y = \frac{- (- 12) \pm \sqrt{36}}{2.1}$
$y_{1} = \frac{12 - 6}{2} = 3$
$y_{2} = \frac{12 + 6}{2} = 9$

y^{2} - 12 y - 27 = 0

Δ = {(- 12)}^{2} - 4.1 . (- 27)

Δ = 144 - 108 = 36

y = \frac{- (- 12) \pm \sqrt{36}}{2.1}

y_{1} = \frac{12 - 6}{2} = 3

y_{2} = \frac{12 + 6}{2} = 9

Mas ainda devemos voltar à substituição

3^{x} = y

, pois o objetivo era determinar a incógnita x:

para $y_{1} = 3$ ,

$3^{x} = 3$
$3^{x} = 3^{1}$
$x = 1$

3^{x} = 3

3^{x} = 3^{1}

x = 1

e para $y_{2} = 9$ ,

$3^{x} = 9$
$3^{x} = 3^{2}$
$x = 2$
$S = {1, 2}$

3^{x} = 9

3^{x} = 3^{2}

x = 2

S = {1, 2}

b) (UFRGS - adaptada) $y_{2} = 9$

Vamos usar a propriedade $a^{m} . a^{n} = a^{m + n}$ , só que "ao contrário", ou seja: $a^{m + n} = a^{m} . a^{n}, com a, m, n \in Q$

$4^{x} - 4^{x - 1} = 24$
$4^{x} - 4^{x} . 4^{-1} = 24$

4^{x} - 4^{x - 1} = 24

4^{x} - 4^{x} . 4^{-1} = 24

Agora a substituição

4^{x} = y

$4^{x} - 4^{x} . 4^{-1} = 24$
$y - y . 4^{-1} = 24$
$y - \frac{y}{4} = 24$

4^{x} - 4^{x} . 4^{-1} = 24

y - y . 4^{-1} = 24

y - \frac{y}{4} = 24

Note que também foi usada outra propriedade das potências: $a^{- m} = \frac{1}{a^{m}} com a, m \in Q$ . E agora é só resolver a equação de 1^o grau!

$y - \frac{y}{4} = 24$
$\frac{4 y - y}{4} = 24$
$3 y = 24.4$
$3 y = 96$
$y = 32$

y - \frac{y}{4} = 24

\frac{4 y - y}{4} = 24

3 y = 24.4

3 y = 96

y = 32

Como $4^{x} = y$ , temos:

$4^{x} = 32$
${(2^{2})}^{x} = 2^{5}$
$2^{2 x} = 2^{5}$
$2 x = 5$
$x = \frac{5}{2}$
$S = {\frac{5}{2}}$

4^{x} = 32

{(2^{2})}^{x} = 2^{5}

2^{2 x} = 2^{5}

2 x = 5

x = \frac{5}{2}

S = {\frac{5}{2}}

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Matemática

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