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Matemática

Equações exponenciais (2) - Formas de resolução

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Veja as equações, no universo dos reais:

1) 3 x - 6 = 0
Essa equação (de 1o grau) fica resolvida quando "isolamos" a incógnita x. Assim:

3 x - 6 = 0
3 x = 6
x = 6 3
x = 2
S = { 2 }

2)

x 2 - 5 x + 6 = 0

Já essa equação (de 2o grau) é resolvida, entre outras formas, pela fórmula resolutiva de equação do 2o grau, ou fórmula de Bhaskara:

x 2 - 5 x + 6 = 0
Δ = b 2 - 4 a c
Δ = - 5 2 - 4 . 1 . 6
Δ = 2 5 - 2 4
Δ = 1
x = - b ± Δ 2 a = - - 5 ± 1 2 . 1
x 1 = 5 - 1 2 = 4 2 = 2
x 2 = 5 + 1 2 = 6 2 = 3
S = { 2 , 3 }

3)3 x = 8 1
Nesse caso, não é possível nem isolar a incógnita - pois x é o expoente -, nem utilizar uma fórmula resolutiva.

A ideia aqui é: o 3 deve ser elevado a qual expoente para resultar em 81?

A resposta é 4. Ou porque sabemos que 3 4 = 8 1 , ou porque, fatorando 81, obtemos 8 1 = 3 4
Mas nem sempre é possível pensar assim e obter o valor da incógnita de imediato. Tente desenvolver o mesmo raciocínio na equação 3 2 x - 1 2 . 3 x = 2 7
Equações que apresentam a incógnita no expoente são chamadas de equações exponenciais.

De forma prática, existem duas tentativas possíveis de resolução:

1a) Escrever os dois membros da equação na mesma base, usando fatoração ou propriedades das potências, dependendo do caso:

a)

3 x = 8 1
3 x = 3 4

Como se trata de uma igualdade e as bases são iguais nos dois membros (3), podemos trabalhar apenas com os expoentes:

3 x = 3 4
x = 4
S = { 4 }

b)

5 . 5 x = 5

Aqui devemos nos lembrar de algumas das propriedades das potências:

a 1 = a
a m . a n = a m + n
a m n = a m n
a , m , n Q

Assim:

5 . 5 x = 5
5 1 . 5 x = 5 1 2
5 1 + x = 5 1 2
1 + x = 1 2
x = 1 2 - 1
x = - 1 2
S = { - 1 2 }

2a) Usar substituição
a) 3 2 x - 1 2 . 3 x = 2 7 Nesse caso, percebemos não ser possível escrever os dois membros da igualdade na base que está elevada a x (base 3), pois 12 não pode ser fatorado só na base 3 e, além disso, não existe uma propriedade das potências que reduza a subtração de potências de mesma base a uma só potência

a ? - a = ? , com a , m , n Q

Observe, então, a estratégia:
Utilizaremos outra propriedade das potências

a ? = a m . n
a , m , n Q
3 2 x - 1 2 . 3 x = 2 7
3 2 x - 1 2 . 3 x - 2 7 = 0
( 3 x ) 2 - 1 2 . 3 x - 2 7 = 0

Agora substituiremos por uma variável qualquer (y, por exemplo):

( 3 x ) 2 - 1 2 . 3 x - 2 7 = 0
y 2 - 1 2 y - 2 7 = 0

E teremos apenas que resolver uma equação do 2o grau!

y 2 - 1 2 y - 2 7 = 0
Δ = - 1 2 2 - 4 . 1 . - 2 7
Δ = 1 4 4 - 1 0 8 = 3 6
y = - - 1 2 ± 3 6 2 . 1
y 1 = 1 2 - 6 2 = 3
y 2 = 1 2 + 6 2 = 9

Mas ainda devemos voltar à substituição

3 x = y

, pois o objetivo era determinar a incógnita x:



para y 1 = 3,

3 x = 3
3 x = 3 1
x = 1

e para y 2 = 9 ,

3 x = 9
3 x = 3 2
x = 2
S = { 1 , 2 }

b) (UFRGS - adaptada) y 2 = 9

Vamos usar a propriedade a m . a n = a m + n , só que "ao contrário", ou seja: a m + n = a m . a n , com a , m , n Q

4 x - 4 x - 1 = 2 4
4 x - 4 x . 4 -1 = 2 4

Agora a substituição

4 x = y

:


4 x - 4 x . 4 -1 = 2 4
y - y . 4 -1 = 2 4
y - y 4 = 2 4

Note que também foi usada outra propriedade das potências: a - m = 1 a m com a , m Q . E agora é só resolver a equação de 1o grau!

y - y 4 = 2 4
4 y - y 4 = 2 4
3 y = 2 4 . 4
3 y = 9 6
y = 3 2

Como 4 x = y , temos:

4 x = 3 2
2 2 x = 2 5
2 2 x = 2 5
2 x = 5
x = 5 2
S = { 5 2 }

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