Equações modulares - Tipos e estratégias de resolução

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Sabemos que

Uma equação modular é aquela em que a incógnita "aparece dentro do módulo".

Vamos aqui apresentar alguns tipos de equações e suas estratégias de resolução.

Exemplo 1

$\| x \| = 5$

| x | = 5

O que queremos aqui é saber qual é o número cujo módulo é igual a 5. Segundo a definição de módulo, esse número pode ser 5 ou -5, pois ambos têm módulo igual a 5.
Assim, podemos dizer que "desmembramos" a equação em duas, para "tirarmos" o módulo.

$\begin{matrix} \| x \| = 5 \\ x = 5 \\ ou \\ \begin{matrix} x = - 5 \\ S = \{\pm 5\} \end{matrix} \end{matrix}$

\begin{matrix} | x | = 5 \\ x = 5 \\ ou \\ \begin{matrix} x = - 5 \\ S = \{\pm 5\} \end{matrix} \end{matrix}

Exemplo 2

$\| x + 1 \| = 4$

| x + 1 | = 4

Da mesma forma, devemos desmembrar a equação.

$\begin{matrix} \| x + 1 \| = 4 \\ x + 1 = 4 \\ x = 3 \\ ou \\ x + 1 = - 4 \\ x = - 5 \\ S = \{- 5, 3\} \end{matrix}$

\begin{matrix} | x + 1 | = 4 \\ x + 1 = 4 \\ x = 3 \\ ou \\ x + 1 = - 4 \\ x = - 5 \\ S = \{- 5, 3\} \end{matrix}

Assim, se voltarmos à igualdade inicial e substituirmos x por -5 ou 3, ela será verdadeira:

$\begin{matrix} \| x + 1 \| = 4 & \| x + 1 = 4 \| \\ x = - 5 & x = 3 \\ \| - 5 + 1 \| = 4 & \| 3 + 1 \| = 4 \\ \| - 4 \| = 4 & \| 4 \| = 4 \end{matrix}$

\begin{matrix} | x + 1 | = 4 & | x + 1 = 4 | \\ x = - 5 & x = 3 \\ | - 5 + 1 | = 4 & | 3 + 1 | = 4 \\ | - 4 | = 4 & | 4 | = 4 \end{matrix}

Exemplo 3

$\| x + 1 \| = 2 x - 1$

| x + 1 | = 2 x - 1

Aqui também se desmembra a equação, com o devido cuidado quanto ao sinal da expressão do segundo membro da igualdade.

resolução.

Exemplo 1

$\| x \| = 5$

| x | = 5

$\begin{matrix} \| x \| = 5 \\ x = 5 \\ ou \\ \begin{matrix} x = - 5 \\ S = \{\pm 5\} \end{matrix} \end{matrix}$

\begin{matrix} | x | = 5 \\ x = 5 \\ ou \\ \begin{matrix} x = - 5 \\ S = \{\pm 5\} \end{matrix} \end{matrix}

Exemplo 2

$\| x + 1 \| = 4$

| x + 1 | = 4

Da mesma forma, devemos desmembrar a equação.

$\begin{matrix} \| x + 1 \| = 4 \\ x + 1 = 4 \\ x = 3 \\ ou \\ x + 1 = - 4 \\ x = - 5 \\ S = \{- 5, 3\} \end{matrix}$

\begin{matrix} | x + 1 | = 4 \\ x + 1 = 4 \\ x = 3 \\ ou \\ x + 1 = - 4 \\ x = - 5 \\ S = \{- 5, 3\} \end{matrix}

Assim, se voltarmos à igualdade inicial e substituirmos x por -5 ou 3, ela será verdadeira:

$\begin{matrix} \| x + 1 \| = 4 & \| x + 1 = 4 \| \\ x = - 5 & x = 3 \\ \| - 5 + 1 \| = 4 & \| 3 + 1 \| = 4 \\ \| - 4 \| = 4 & \| 4 \| = 4 \end{matrix}$

\begin{matrix} | x + 1 | = 4 & | x + 1 = 4 | \\ x = - 5 & x = 3 \\ | - 5 + 1 | = 4 & | 3 + 1 | = 4 \\ | - 4 | = 4 & | 4 | = 4 \end{matrix}

Exemplo 3

$\begin{matrix} \| x + 1 \| = 2 x - 1 \\ x + 1 = 2 x - 1 \\ 1 + 1 = 2 x - x \\ x = 2 \\ ou \\ x + 1 = - (2 x - 1) \\ x + 1 = - 2 x + 1 \\ x + 2 x = 1 - 1 \\ 3 x = 0 \\ x = 0 \\ S {0, 2} \end{matrix}$

\begin{matrix} | x + 1 | = 2 x - 1 \\ x + 1 = 2 x - 1 \\ 1 + 1 = 2 x - x \\ x = 2 \\ ou \\ x + 1 = - (2 x - 1) \\ x + 1 = - 2 x + 1 \\ x + 2 x = 1 - 1 \\ 3 x = 0 \\ x = 0 \\ S {0, 2} \end{matrix}

Logo, 0 e 2 são os valores que verificam as igualdades, quando colocados no lugar de x.

Exemplo 4

$\| 2 x - 1 \| = - 5$

| 2 x - 1 | = - 5

Nesse caso, queremos saber qual o valor de x para que a expressão tenha módulo igual a -5. Pela definição, sabemos que o módulo não pode ser igual a um número negativo. Logo, não existe tal valor de x.
Portanto, $S = {}$ .

Exemplo 5

$\| x^{2} - 5 x + 8 \| = 2$

| x^{2} - 5 x + 8 | = 2

Exemplo 6

$x^{2} - 3 . \| x \| + 2 = 0$

x^{2} - 3 . | x | + 2 = 0

É bom lembrarmos uma das propriedades do módulo, segundo a qual

$\| x \|^{2} = \| x^{2} \| = x^{2}$

| x |^{2} = | x^{2} | = x^{2}

.

Logo, a equação pode ser reescrita da seguinte forma:

$\| x \|^{2} - 3 . \| x \| + 2 = 0$

| x |^{2} - 3 . | x | + 2 = 0

.
Agora, basta usar a técnica da substituição para facilitar a resolução.

$\| x \| = y$

| x | = y

Mas ainda não encontramos a solução da equação. Devemos voltar à substituição feita anteriormente.

Portanto, o conjunto solução da equação é

$S = \{\pm 1, \pm 2\}$

S = \{\pm 1, \pm 2\}

.

Exemplo 7

$\| x + 1 \| = \| 3 x - 7 \|$

| x + 1 | = | 3 x - 7 |

Se, para eliminar cada módulo, desmembrarmos em dois casos, teremos quatro equações, porém com dois pares de equações repetidas. Assim, para facilitarmos a resolução, consideraremos dois casos:

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