Fração (1) - História do conceito

Para fazer medições (qual o tamanho do seu quarto? quanto pesa o seu prato?), é necessário utilizar um padrão, isto é, uma unidade que seja aceita e adotada por toda a sociedade. Imagine se, para medir um terreno, cada pessoa utilizasse o comprimento do palmo de sua mão como unidade artificial?

Para evitar essa confusão, no antigo Egito, o faraó decretou que todo o povo egípcio deveria usar a mesma unidade. Todos deveriam medir seus terrenos com a unidade do faraó.

Para trabalhar com os números da terra, o faraó criou um grupo de homens especializados, que utilizavam cordas para fazer as suas contagens. Ficaram conhecidos como "estiradores de corda".

Assim que um terreno era dado como propriedade a certo lavrador, os estiradores tomavam a unidade de medida assinalada na própria corda, esticavam as cordas nos limites do terreno e verificavam quantas vezes a unidade de medida estava contida nas dimensões do terreno.

Vejamos como se dava isso. Os estiradores tinham:

A unidade do faraó: A _________ B.

E a dimensão a ser medida: R ____________________________ S.

E mediam quantas vezes a unidade do faraó se achava contidas dentro da dimensão a medir:

Os egípcios dessa época usavam a escrita numeral repetitiva para indicar quantidades. Cada unidade era representada por uma barrinha "|". A medida do comprimento RS, por exemplo, era indicada por "|||", isto é, 3 unidades.

Às vezes, no entanto, o valor não era "redondo", exato. Daí surgiu outro problema: como contar (ou medir) uma quantidade de terra que não possui dimensões inteiras da unidade do Faraó? Isto é, quando "sobrava" um pedacinho que não foi medido, por não se encaixar na unidade de medida estabelecida.

O resultado foi criar "unidades menores", subunidades. Será a criação da ideia da subdivisão da unidade dos faraós que irá indicar a resposta ao segundo problema. Acompanhemos a ideia dos "estiradores". Eles faziam o seguinte:

Temos a unidade do faraó: A _________ B.

E a dimensão a ser medida: C ______________________________ D.

Ao fazer a medição, sobrava um pedaço da dimensão, do comprimento, do terreno que era menor que a unidade do faraó.

A medida de CD é 3 unidades e mais um pouco. Como transformar em número esse pouco?

Eis o comprimento que "sobrou" ____.

Tomava-se a unidade do faraó e ela era dividida em "subunidades" iguais menores. Primeiro em duas "subunidades" menores. Agora tentava-se medir com esta subunidade a "sobra". Como essa nova unidade (a subunidade) era ainda grande para a "sobra", criava-se uma nova unidade menor dividindo a do faraó em três. E novamente tentava-se medir a sobra.

A "sobra" mede uma unidade menor que resulta da unidade do faraó dividida em três partes.

Observando o trabalho dos "estiradores de cordas" vemos que eles criaram, a partir da unidade do faraó, uma nova unidade com a qual contam a quantidade da sobra. Essa nova unidade, a subunidade, resulta da divisão da unidade do faraó em partes iguais cujo número depende de se encontrar o comprimento ajustado à sobra.

Essa nova unidade é, portanto, parte da unidade do faraó considerada como inteiro. Medindo-se com ela a sobra obtém-se a fração do inteiro:

Fração é a medição que se faz utilizando-se a subunidade que resulta da divisão da unidade inteira em partes iguais.

Como vimos, os egípcios utilizaram seu sistema numeral para escrever as medições que faziam. A parte fracionária era indicada pelo sinal

Este sinal era o desenho de um pão que deveria ser repartido em porções iguais. Ele indica que a unidade foi dividida. O número de partes em que foi dividida vinha indicado abaixo dele. No caso do nosso exemplo a medida da sobra seria indicada por

Vamos resumir os passos para a medição:

1. A escolha da unidade artificial com a qual se vai contar a quantidade. Essa unidade: tem de ser da mesma natureza da quantidade que se quer medir; assim comprimento se mede com comprimento, peso com peso, força com força, etc;

• A escolha não pode ser individual; tem de ser combinada com todas as pessoas; trata-se, portanto, de uma escolha social;
• apesar de ser uma escolha social, a unidade artificial é uma quantidade qualquer;
• uma vez escolhida, a unidade passa a ser chamada de unidade padrão;
  
  2. Compara-se a unidade padrão com a quantidade que se quer contar, verificando-se quantas vezes aquela aparece nesta;
  
  3. Caso ocorram sobras, a unidade padrão é dividida em subunidades (menores) que são comparadas com a sobra. Esse processo se dá até encontrarmos uma subunidade que corresponda à sobra;
  
  4. Registra-se, por fim, o número obtido com a medição.
  
  Muitos séculos depois, os matemáticos deram o nome de fração a esse novo número e passaram a representá-lo de modo diferente:
   
• ao invés de indicar 1 parte de 3, escreviam resumidamente
  

  $$\frac{1}{3}$$

  O número 3, abaixo do traço (chamado denominador) conta em quantas partes se dividiu a unidade de medida e o número 1, acima do traço (chamado de numerador) conta quantas dessas novas unidades couberam no pedacinho que faltava.