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Matemática

Funções (2) - Definição a partir dos conjuntos

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Vamos estudar a definição de função a partir dos conjuntos.

Primeiro, é preciso lembrar a operação de multiplicação entre conjuntos: o produto cartesiano.

Exemplo: dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}, o produto cartesiano de A por B, representado por A x B, é dado por:

A × B = { 1 , 3 , 1 , 4 , 1 , 5 2 , 3 , 2 , 4 , 2 , 5 , 3 , 3 , 3 , 4 , 3 , 5 , 4 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 }

E pode ser representado assim:

 

 

 

 

 

 

 

Ou ainda:

 

 

 

 

 

 

 

 

Agora, é importante definir a relação binária. Trata-se de um conjunto formado por pares retirados do produto cartesiano entre dois conjuntos, segundo uma "regra" que varia de relação para relação.

Exemplos:

a)

R 1 = { x , y A x B | x = y }

Traduzindo: R1 é formada pelos pares (x, y), "tirados" do produto cartesiano de A por B, nos quais o primeiro número (x) é igual ao segundo (y).

Buscando os pares com essa regra no conjunto A x B, temos:

R 1 = { 3 , 3 ; 4 , 4 }

 

 

 

 

 

 

b)

R 2 = { x , y A x B | x < y }

Traduzindo: é formada pelos pares (x, y), "tirados" do produto cartesiano de A por B, nos quais o primeiro número (x) é menor que o segundo (y).

Buscando os pares com essa regra no conjunto A x B, temos:

R 2 = { 1 , 3 ; 1 , 4 ; 1 , 5 ; 2 , 3 ; 2 , 4 ; 2 , 5 ; 3 , 4 ; 3 , 5 ; 4 , 5 }


 

 

 

 

 

Existem infinitas "regras" que podem formar uma relação binária.

A partir das relações binárias, é possível definir função.

A função é uma relação binária com duas características importantes:

  • nenhum elemento do primeiro conjunto fica "sobrando", sem correspondência com algum elemento do segundo (não existe elemento "sem flecha" em A);

um mesmo elemento do primeiro conjunto não pode ter correspondência com mais de um elemento do segundo conjunto (não existe mais de uma flecha "saindo" de um mesmo elemento de A).

Nenhuma das relações acima é função. A primeira porque os elementos 1 e 2 do conjunto A estão sem correspondente no conjunto B, a segunda porque tem mais de um correspondente para os elementos 1, 2 e 3, do conjunto A.

Exemplos:

 

 

 

 

 

 

Essa relação não é função, pois o elemento 2, de A, tem dois correspondentes em B.

 

 

 

 

 

 

Essa relação é função, pois as duas condições foram obedecidas: não existe mais de um correspondente para cada elemento de A e nenhum ficou sem correspondente em B.


 

 

 

 

 

 

Essa relação não é função, pois o elemento 3, de A, não tem correspondente em B.

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