Matemática

Geometria analítica - Introdução: Entenda a nomenclatura utilizada

Helena Meidani, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Construímos gráficos em planos cartesianos, que se chamam assim por causa do filósofo francês René Descartes (1596-1650).

Grande parte da obra de Descartes é consagrada às ciências, sobretudo a matemática e a ótica; e, desde os 23 anos, ele aplicou a álgebra à geometria, tendo criado um método matemático geral que relaciona técnicas algébricas e figuras geométricas.

Depois de algumas transformações, esse método é conhecido hoje como Geometria Analítica e usa o plano cartesiano para estudar figuras geométricas por meio de equações.

O princípio fundamental da geometria analítica foi enunciado por um contemporâneo de Descartes, Pierre de Fermat (1601-1665): "Em geral, a toda equação de duas variáveis corresponde uma curva no plano". Assim, através da geometria analítica, é possível dar uma interpretação geométrica a equações com duas variáveis.

Plano cartesiano

O plano cartesiano é composto por dois eixos ortogonais (perpendiculares), onde cada ponto P é indicado por um par ordenado de números (XP; YP):


 

 

 

 

 

Nesse plano, definem-se:

  • o sistema cartesiano de eixos ortogonais: xOy
  • a origem do sistema: o ponto O
  • o eixo das abscissas Ox (horizontal)
  • o eixo das ordenadas Oy (vertical)
  • a abscissa do ponto P: o número real xP
  • a ordenada do ponto P: o número real yP

as coordenadas do ponto P: o par ordenado (xP; yP)

No eixo Ox, os pontos à direita da origem têm abscissa positiva e os pontos à esquerda, negativa. Analogamente, no eixo Oy, os pontos acima da origem têm ordenada positiva e os pontos abaixo, negativa.

Quadrante é cada uma das quatro regiões angulares em que o sistema de eixos xOy divide o plano, e eles são numerados, a partir do primeiro, em sentido anti-horário, como se vê na figura e no quadro abaixo:


 

 

 

 

 

 

Linguagem matemática Linguagem corrente
P I x P > 0 e y P > 0 Se P pertence ao I quadrante, tem abscissa e ordenada positivas.
P II x P < 0 e y P > 0 Se P pertence ao II quadrante, tem abscissa negativa e ordenada positiva.
P III x P < 0 e y P < 0 Se P pertence ao III quadrante, tem abscissa e ordenada negativas.
P IV x P > 0 e y P < 0 Se P pertence ao IV quadrante, tem abscissa positiva e ordenada negativa.
P Ox y P = 0 Se P pertence ao eixo horizontal, tem ordenada nula.
P Oy x P = 0 Se P pertence ao eixo vertical, tem abscissa nula.
O Ox I Oy A origem pertence à intersecção do eixo horizontal com o eixo vertical.

Se uma reta é paralela ao eixo das abscissas, todos os seus pontos têm a mesma ordenada; e, se uma reta é paralela ao eixo das ordenadas, todos os seus pontos têm a mesma abscissa.

Considerando as bissetrizes dos ângulos retos formados pelo sistema xOy, chama-se b13 à reta bissetriz dos quadrantes ímpares, e b24 à dos quadrantes pares:


 

 

 

 

 

Em b13, todos os pontos têm coordenadas iguais; em b24, coordenadas opostas:

P b 1 3 x P = y P
P b 2 4 x P = - y P

A associação de pontos com números é a base da geometria analítica, também chamada geometria algébrica ou de coordenadas.

Helena Meidani, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é pedagoga e professora de matemática.

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