História da matemática (2) - Sistema de equações

• Sistema de equações(1) - Método da substituição
• Sistema de equações (2)- Método da adição

As primeiras equações aparecem no antigo Egito, onde se tem o registro mais antigo de operações matemáticas. Os egípcios trabalhavam com equações simples, de uma variável apenas.

Suas equações não eram expressas por números e sinais. Eram escritas nos papiros na forma de problemas, sendo que o elemento desconhecido, a variável, tinha um nome especial: aha. Veja um exemplo dessas equações:

Qual o valor de aha, sabendo que aha mais um oitavo de aha resulta 10?

Esse método de equacionar consistia em atribuir um valor qualquer para aha. Por exemplo, 8. O 8, que era um "falso resultado", assumia a posição de aha. Eram feitos, então, os cálculos com 8 no lugar de aha, e tinha-se um novo resultado para a equação:

mas 9 é um falso resultado.

Os egípcios, que gostavam muito de razões, montavam, então, a razão entre o resultado correto - indicado na equação (10) - e o resultado falso (9).

Daí, concluía-se que o número correto para substituir aha terá que formar com o número da falsa posição (8) uma razão igual a $$\frac{10}{9}$$.
Para saber que número é esse, basta então multiplicar:

$$\frac{80}{9}$$ é o resultado.

Os babilônios e os sistemas de duas equações

A civilização babilônica deu um passo à frente no campo das equações.

Eles já trabalhavam com sistemas de duas equações com duas variáveis que eram resolvidos por um método muito semelhante ao que é ensinado atualmente na escola. Da mesma forma que os egípcios, as equações babilônicas eram expressas na forma de problemas. Vamos a um deles:

Um quarto da largura mais o comprimento resulta 7 mãos e o comprimento mais a largura resulta 10 mãos.

Vamos traduzir o problema - e a solução que lhe deram os babilônios - para a linguagem algébrica atual:

Na linguagem algébrica o problema pode ser escrito através das equações, tomando-se pela variável x a medida da largura e por y a medida do comprimento. Assim, podemos escrever:

• um quarto da largura mais o comprimento resulta 7 mãos:
  
  (1)

  $$\frac{x}{4}+y=7$$

  e o comprimento mais a largura resulta 10 mãos
  
  (2)

  $$x+y=10$$

  Para resolver esse sistema, os babilônios aplicaram técnicas correspondentes às aritméticas, de modo a encontrar equações equivalentes às dadas, mas que permitissem, ao final, anular uma das variáveis.
  
  No problema em questão buscavam anular a variável y da seguinte forma:
  
  multiplicando a equação (1) por 4
  

  $$\{\begin{array}{c}x+4x=28\\ x+y=10\end{array}$$

  multiplicando a equação (2) por -1
  

  $$\{\begin{array}{c}x+4x=28\\ -x-y=-10\end{array}$$

  Observando que os elementos correspondentes nas duas equações estão na mesma posição, isto é, o termo em x embaixo do termo em x, o termo em y embaixo do termo em y, e o termo independente embaixo do termo independente, podemos então somar membro a membro, termo a termo, as duas equações:
  

  $$\begin{array}{c}x+4y=28\\ \frac{-x-y=-10}{3y=18}\Rightarrow y=\mathrm{6 }\text{e} x=4\end{array}$$

  Resolvendo sistemas com duas equações, os matemáticos babilônicos desenvolveram dois princípios básicos da teoria das equações:
  
  1) o princípio da posição: trata-se do princípio de que a posição que os termos ocupam nas equações é fundamental para a solução do sistema. Se esta posição é aquela em que os termos correspondentes ocupam posições iguais, então o sistema poderá ser facilmente resolvido.
  
  2) o princípio da preparação das equações: trata-se do princípio de que as equações devem ser "preparadas" de modo que se possa aproveitar o princípio da posição. Isto é, trata-se de fazer as modificações necessárias nas equações de modo que os termos correspondentes fiquem na mesma posição.
  
  Porém isso só não basta. É necessário também que fiquem preparadas de tal modo que uma das variáveis seja eliminada. Foi por isso que no exemplo dos babilônios multiplicou-se a primeira equação por 4 e a segunda por -1. Com a aplicação dessa técnica, foi possível somar termo a termo e obter-se a eliminação da variável x.