Inequações do segundo grau - Exemplos de resolução

Para resolver inequações do segundo grau, precisamos, antes, recordar que as inequações de primeiro grau são resolvidas seguindo-se o mesmo procedimento utilizado na resolução das equações de primeiro grau e observando-se, claro, as propriedades das desigualdades e o significado da solução.

Assim, resolvendo$$-3x-7>0$$ , temos:

É possível, para resolver inequações do segundo grau, proceder como em equações do segundo grau?

Vejamos o exemplo $$x^2-3x-4>0$$ .
A resolução de equações do segundo grau se dá, entre outras formas, pela fórmula de Bhaskara:

E agora? Qual seria o significado dos valores encontrados para o conjunto solução? Se a inequação é $$x^2-3x-4>0$$ , deveríamos escrever a solução como $$x>4$$ ou $$x>-1$$ ? Que significado isso teria?

Na verdade, resolver a inequação $$x^2-3x-4>0$$ é saber para quais valores de x a expressão $$x^2-3x-4$$ é positiva.

Graficamente, essa expressão, em função de x, é uma parábola, uma função do segundo grau. Se estudarmos o sinal da função do segundo grau, descobriremos para quais valores de x essa expressão é positiva.

Seu gráfico é:

Estudando o sinal da função, temos:

Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são $$x<-1$$ ou $$x>4$$ . E o conjunto solução da inequação é $$\text{S}=\left\{x\in \text{R}|x<-1 \text{ou }x>4\right\}$$ .
Exemplos:

1) $$-x^2+5x-6\ge 0$$

Achando as raízes da função, temos

$$\begin{array}{c}{x}_1=2\\ x_2=3\end{array}$$

E o estudo do sinal (a função é côncava para baixo, pois a < 0):

A solução é $$\text{S}=\left\{x\in \text{R}|2\le x\le 3\right\}$$ .

2) $$-x^2+4x-4\ge 0$$

As raízes da função são

$$x_1=2=x_2$$

A função é côncava para baixo, pois a < 0. E o estudo do sinal fica assim:

A função é toda negativa, exceto no ponto x = 2, onde ela é nula.

Como, no exemplo, queremos saber onde a função é positiva ou nula $$\left(\ge 0\right)$$ , o único ponto que faz parte da solução é x = 2.

A solução é $$\text{S}=\left\{2\right\}$$ .

3) $$-x^2+2x-4>0$$

A função não possui raízes reais. Logo, ela não intercepta o eixo das abscissas. A concavidade é para baixo, pois a < 0.

Como queremos saber onde a função é positiva, o conjunto solução da função é vazio. Logo, S = Ø.