Polinômios - Operações, divisão, Briot-Ruffini, divisão por (x-a), teorema do resto

Operações
Tomando-se o seguinte polinômio $$\text{P}\left(x\right)=a_n{x}^{″}+a_{n-1}{x}^{″-1}+\dots +a_2{x}^2+a_{1x}+a_0$$ onde $$a_n\text{,}{a}_{n-1}\text{,}\dots \text{,}{a}_1\text{,}{a}_0$$ são constantes e definidas como coeficientes e n é definido como o grau do polinômio.

Por exemplo: $$\text{P}\left(x\right)=x^4+7x^3+6x^2-7x+8$$

a. Adição
A adição (ou subtração) de polinômios se dá com a soma (ou subtração) dos coeficientes para variáveis comuns:

b. Multiplicação
A multiplicação de um polinômio se dá a multiplicação de cada elemento do polinômio por cada elemento do outro polinômio:

c. Divisão
Como regra geral a divisão de um polinômio $${\mathit{\text{P}}}_1\left(x\right)$$ (definido como numerador) por um polinômio $${\mathit{\text{P}}}_2\left(x\right)$$ (definido como denominador) segue o mesmo esquema da multiplicação, dividindo elemento por elemento do primeiro pelo segundo. Só que nesse caso o resto de cada divisão deve ser somado aos elementos de mesmo grau do numerador antes da próxima divisão do elemento seguinte.

Uma dos algoritmos utilizados é o método da chave:

Descrição: divide-se a parcela $$6x^3$$ do numerador pela primeira parcela do denominador $$2x^2$$ obtendo-se . Ao se multiplicar a parcela$$3x$$ por todos as parcelas do denominador $$2x^2-3x-1$$ e invertendo-se o sinal de cada parcela obtém-se $$-6x^3+9x^2+3x+3$$ que somado ao numerador resulta em $$-4x^2+4x+3$$ . Repetindo-se a mesma operação novamente obtém-se o resultado $$3x-2$$ com o resto $$-2x+1$$ .

d. Briot-Ruffini e divisão por (x-a)
Há um caso particular de divisão pelo denominador do tipo $$\left(x-a\right)$$ onde o algoritmo da chave descrito acima pode ser utilizado. E se o resto da divisão for igual à zero o fator (a) será raiz do polinômio numerador.

Um outro algoritmo que pode ser utilizado nesse caso é o de Briot-Ruffini, que utiliza somente os coeficientes do polinômio numerador é utilizado simplificando o esquema.

Pelo método da chave:

Obs.: Como o coeficiente de $$x^3$$ é zero deve-se coloca-lo na primeira linha, o resto é o fator (a) do binômio, no caso 2 multiplicado pelo último coeficiente (35) e somado ao último coeficiente do numerador (-1), ou seja: $$\mathit{\text{R}}=2·35-1=69$$

Tendo como resultado $$5x^3+10x^2+17x35$$ e com 69 de resto.

Note que poderia ser usado o método da chave, mas por Briot-Ruffini verifica-se ser mais simples.

e. Teorema do resto
O teorema do resto define que a divisão de um polinômio $$\mathit{\text{P}}\left(x\right)$$ pelo binômio do tipo $$\left(ax+b\right)$$ tem como resto $$\mathit{\text{R}}=\mathit{\text{P}}\left(\frac{-b}{a}\right)$$ .

Exemplo: o polinômio do exemplo anterior $$5x^3+10x^2+17x+35$$ foi dividido por $$\left(x-2\right)$$ que possui a = 1 e b = -2 então:

Uma das interações do teorema do resto é o teorema de D'Alembert que define que para um polinômio  $$\mathit{\text{P}}\left(x\right)$$ ser divisível por um binômio do tipo $$\left(ax+b\right)$$ se e somente se $$\mathit{\text{P}}\left(\frac{-b}{a}\right)=0$$ .