Progressão geométrica - Soma de um número finito de termos

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

(Atualizado em 25/06/2014, às 17h53)

Numa progressão geométrica (PG) com um número finito de termos é possível calcular a soma desses termos, a exemplo do que ocorre com a progressão aritmética (PA).

Somar os termos da PG significa fazer

$S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... ? + a_{n}$

S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... ? + a_{n}

ou, ainda,

$S_{n} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + ... ? + a_{1} q^{n - 1}$

S_{n} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + ... ? + a_{1} q^{n - 1}

Para encontrarmos uma expressão para calcular essa soma, multiplicaremos por "q" os dois membros da igualdade acima:

$q . S_{n} = q . (a_{1} + a_{1 .} . q + a_{1} . q^{2} + ... + a_{1} . q^{n - 1})$ $q . S_{n} = a_{1} q + a_{1} . q^{2} + a_{1} . q^{3} ... + a_{1} . q^{n}$

q . S_{n} = q . (a_{1} + a_{1 .} . q + a_{1} . q^{2} + ... + a_{1} . q^{n - 1})

q . S_{n} = a_{1} q + a_{1} . q^{2} + a_{1} . q^{3} ... + a_{1} . q^{n}

E, subtraindo a 1ª igualdade da 2ª:

$q . S_{n} - S_{n} = a_{1} q + a_{1} . q^{2} + a_{1} . q^{3} ... + a_{1} . q^{n} - (a_{1} + a_{1} . q + a_{1} . q^{2} + ... + a_{1} . q^{n - 1})$ $S_{n} (q - 1) = - a_{1} + a_{1} . q^{n}$

q . S_{n} - S_{n} = a_{1} q + a_{1} . q^{2} + a_{1} . q^{3} ... + a_{1} . q^{n} - (a_{1} + a_{1} . q + a_{1} . q^{2} + ... + a_{1} . q^{n - 1})

S_{n} (q - 1) = - a_{1} + a_{1} . q^{n}

$S_{n} = \frac{a_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}$

S_{n} = \frac{a_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}

Eis a fórmula da soma dos termos de uma PG finita.

No caso de uma PG com razão igual a 1, como, por exemplo, (2, 2, 2, 2, 2), essa fórmula não funciona, pois o denominador seria zero.

Nesse caso, a soma é igual ao número de termos multiplicado pelo 1º termo:

$S_{n} = n . a_{1}$

S_{n} = n . a_{1}

PGs infinitas

Mas existe, ainda, outro caso: o das PGs infinitas.

Numa PG do tipo (2, 6, 18, 54, ...) não seria possível calcular exatamente a soma de termos que crescem infinitamente. Essa soma seria infinita.

Porém, em casos em que a PG é decrescente, ou seja, possui razão 0 < q < 1, a soma é bastante intuitiva.

Considere, por exemplo, uma pessoa que possui uma barra de chocolate e não quer vê-la acabar tão cedo. Essa pessoa decide, então, que vai comer sempre a metade do pedaço que ela tiver.

Assim, no primeiro dia comerá a metade da barra inteira. No segundo dia, a metade da metade que sobrou do dia anterior. No terceiro dia, comerá a metade do pedaço do dia anterior, e assim por diante.

Esses pedaços consumidos formam uma PG infinita (considerando-se que a pessoa conseguiria dividi-la sempre) e decrescente:

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, ...)$

(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, ...)

Porém, a soma de todas essas quantidades seria igual à barra toda, ou seja, 1.

Logo, é possível determinar a soma desse tipo de PG infinita, por meio da expressão:

$S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - q}$

S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - q}

Exercícios resolvidos

1) Comprei um terreno e vou pagá-lo em 8 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação é de 100 unidades monetárias - e cada uma das seguintes é o dobro da anterior. Qual o valor do terreno?

Como sabemos o total de prestações (8), vamos calcular o valor do terreno por meio da soma da PG finita, pois as prestações estão em PG de razão 2.

$S_{8} \frac{a_{1} (q^{8} - 1)}{q - 1}$ $S_{8} \frac{100 (2^{8} - 1)}{2 - 1} = 100 . (256 - 1) = 100.255 = 25500$

S_{8} \frac{a_{1} (q^{8} - 1)}{q - 1}

S_{8} \frac{100 (2^{8} - 1)}{2 - 1} = 100 . (256 - 1) = 100.255 = 25500

Logo, o valor do terreno é de 25500 unidades monetárias.

2) Dê a fração geratriz da dízima periódica 0, 8888...

Podemos escrever a dízima da seguinte forma:

0, 8888... = 0, 8 + 0, 08 + 0, 008 + 0, 0008 + ..., o que seria igual à soma da PG infinita

$(\frac{8}{10}, \frac{8}{100}, \frac{8}{1000}, ...)$

(\frac{8}{10}, \frac{8}{100}, \frac{8}{1000}, ...)

.
A fração geratriz é, então, o valor da soma dessa PG.

$S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - q} = \frac{\frac{8}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{8}{10} . \frac{10}{9} = \frac{8}{9}$

S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - q} = \frac{\frac{8}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{8}{10} . \frac{10}{9} = \frac{8}{9}

3) Resolver a equação

$x + \frac{x}{3} + \frac{x}{9} + ... = 12$

x + \frac{x}{3} + \frac{x}{9} + ... = 12

.
Mais uma vez, aplicaremos a fórmula da soma da PG infinita, pois o 1º membro da equação é uma PG infinita e decrescente.

$\begin{matrix} \frac{a_{1}}{1 - q} = 12 \\ \frac{x}{1 - \frac{1}{3}} = 12 \\ x . \frac{3}{2} = 12 \\ \begin{matrix} \begin{matrix} x = 8 \\ S \{8\} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}$

\begin{matrix} \frac{a_{1}}{1 - q} = 12 \\ \frac{x}{1 - \frac{1}{3}} = 12 \\ x . \frac{3}{2} = 12 \\ \begin{matrix} \begin{matrix} x = 8 \\ S \{8\} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}

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