Matemática

Progressão geométrica: Soma de um número finito de termos

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

(Atualizado em 25/06/2014, às 17h53)

Numa progressão geométrica (PG) com um número finito de termos é possível calcular a soma desses termos, a exemplo do que ocorre com a progressão aritmética (PA).

Somar os termos da PG significa fazer

S n = a 1 + a 2 + a 3 + ...? + a n

ou, ainda,

S n = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + ...? + a 1 q n - 1

Para encontrarmos uma expressão para calcular essa soma, multiplicaremos por "q" os dois membros da igualdade acima:

q . S n = q . a 1 + a 1 . . q + a 1 . q 2 + ... + a 1 . q n - 1 q . S n = a 1 q + a 1 . q 2 + a 1 . q 3 ... + a 1 . q n

E, subtraindo a 1ª igualdade da 2ª:

q . S n - S n = a 1 q + a 1 . q 2 + a 1 . q 3 ... + a 1 . q n - a 1 + a 1 . q + a 1 . q 2 + ... + a 1 . q n - 1 S n q - 1 = - a 1 + a 1 . q n
S n = a 1 q n - 1 q - 1

Eis a fórmula da soma dos termos de uma PG finita.

No caso de uma PG com razão igual a 1, como, por exemplo, (2, 2, 2, 2, 2), essa fórmula não funciona, pois o denominador seria zero.

Nesse caso, a soma é igual ao número de termos multiplicado pelo 1º termo:

S n = n . a 1

PGs infinitas

Mas existe, ainda, outro caso: o das PGs infinitas.

Numa PG do tipo (2, 6, 18, 54, ...) não seria possível calcular exatamente a soma de termos que crescem infinitamente. Essa soma seria infinita.

Porém, em casos em que a PG é decrescente, ou seja, possui razão 0 < q < 1, a soma é bastante intuitiva.

Considere, por exemplo, uma pessoa que possui uma barra de chocolate e não quer vê-la acabar tão cedo. Essa pessoa decide, então, que vai comer sempre a metade do pedaço que ela tiver.

Assim, no primeiro dia comerá a metade da barra inteira. No segundo dia, a metade da metade que sobrou do dia anterior. No terceiro dia, comerá a metade do pedaço do dia anterior, e assim por diante.

Esses pedaços consumidos formam uma PG infinita (considerando-se que a pessoa conseguiria dividi-la sempre) e decrescente:

1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 1 6 , ...

Porém, a soma de todas essas quantidades seria igual à barra toda, ou seja, 1.

Logo, é possível determinar a soma desse tipo de PG infinita, por meio da expressão:

S = a 1 1 - q

Exercícios resolvidos

1) Comprei um terreno e vou pagá-lo em 8 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação é de 100 unidades monetárias - e cada uma das seguintes é o dobro da anterior. Qual o valor do terreno?

Como sabemos o total de prestações (8), vamos calcular o valor do terreno por meio da soma da PG finita, pois as prestações estão em PG de razão 2.

S 8 a 1 q 8 - 1 q - 1 S 8 1 0 0 2 8 - 1 2 - 1 = 1 0 0 . 2 5 6 - 1 = 1 0 0 . 2 5 5 = 2 5 5 0 0

Logo, o valor do terreno é de 25500 unidades monetárias.

2) Dê a fração geratriz da dízima periódica 0, 8888...

Podemos escrever a dízima da seguinte forma:

0, 8888... = 0, 8 + 0, 08 + 0, 008 + 0, 0008 + ..., o que seria igual à soma da PG infinita

8 1 0 , 8 1 0 0 , 8 1 0 0 0 , ...

.
A fração geratriz é, então, o valor da soma dessa PG.

S = a 1 1 - q = 8 1 0 1 - 1 1 0 = 8 1 0 . 1 0 9 = 8 9

3) Resolver a equação

x + x 3 + x 9 + ... = 1 2

.
Mais uma vez, aplicaremos a fórmula da soma da PG infinita, pois o 1º membro da equação é uma PG infinita e decrescente.

a 1 1 - q = 1 2 x 1 - 1 3 = 1 2 x . 3 2 = 1 2 x = 8 S 8

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.

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