Teorema de Pitágoras (1) - Uma relação válida para todo triângulo retângulo

O teorema de Pitágoras é verdadeiro para todos os triângulos retângulos. O triângulo retângulo que você vê aqui representa qualquer triângulo retângulo, porque o comprimento de seus lados não é especificado, sendo representado pelas letras x , y , z.

Nessa figura representamos a medida do lado maior - ou hipotenusa - com a letra Z, e as medidas dos outros dois lados - os catetos - com as letras X e Y.

Vamos combinar essa figura com outras figuras, e construir uma situação onde a relação Z² = X² + Y² vai se manifestar: essa é a essência das demonstrações matemáticas!
 

A chave da demonstração

Na figura abaixo, quatro triângulos retângulos idênticos ao que apresentamos acima são combinados com um quadrado inclinado, de modo a construir um quadrado grande.

A área desse quadrado grande é a chave da demonstração.

A área do quadrado grande pode ser calculada de duas maneiras:

1) Medindo a área do quadrado como um todo.

O comprimento de cada lado vale x + y. Portanto, a superfície do quadrado grande mede (x + y). (x + y) = (x + y)².

2) Medindo a área de cada elemento do quadrado grande:

Cada superfície de triângulo tem área $$\frac{x·y}{2}$$ ou seja, metade do comprimento da base vezes a altura. A superfície do quadrado inclinado tem área z². Então:

área do quadrado grande = 4 .(área de cada triângulo) + área do quadrado inclinado = 4 . $$\frac{x·y}{2}$$ + z².

Equivalência dos métodos

Os métodos apresentados produzem expressões diferentes, mas devem ser equivalentes, porque representam a mesma área. Portanto :

área pelo método 1 = área pelo método 2, ou, matematicamente,

(x + y)² = 4 . $$\frac{x·y}{2}$$ + z².

Os parêntesis podem ser expandidos e simplificados, lembrando o resultado do produto notável que é o quadrado de uma soma:

(x + y) ² = x² + 2xy + y² = 2xy + z²

Os 2xy podem ser cancelados em ambos os lados. Assim, temos:

x² + y² = z²

que é o próprio teorema de Pitágoras!

Essa é uma das muitas demonstrações do teorema.
 

A propósito...

1) Não foi Pitágoras quem descobriu a relação entre hipotenusa e catetos: os egípcios já conheciam e usavam as propriedades de um triângulo de lados 3, 4 e 5 na marcação de terrenos após as cheias do rio Nilo.

O grande mérito de Pitágoras foi provar que a relação era válida para todos os triângulos retângulos, independentemente de suas medidas!

2) "Cateto" vem da palavra grega káthetos, que se pronuncia com o "a" acentuado, de modo que, a rigor, deveríamos dizer "cáteto". A palavra káthetos indicava a linha que se baixa (verticalmente) como o fio de prumo do pedreiro, ou a linha de sondagem do marinheiro. Daí passou a indicar qualquer perpendicular, de modo que, no contexto de triângulos, a palavra káthetos foi usada para indicar as linhas que formam o ângulo reto do triângulo.

2) "Hipotenusa" também vem do grego, hypoteinousa, que é uma palavra composta: hypó + teinousa.

Hypó significa "sob", "debaixo"; já teinousa quer dizer "linha esticada ou estendida entre dois pontos", como a linha de um arco de guerra. Assim, hypoteinousa pode ser entendida como a linha que se estende sob o ângulo reto do triângulo retângulo.