Progressão aritimética (PA): Fórmula da soma e do termo geral

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
(Atualizado em 25/06/2014, às 17h49)

Imagine um casal de coelhos recém nascidos, supondo que após um mês esse casal possa procriar e gere um novo casal de coelhos. Por sua vez, esse novo casal, após um mês, dava origem a um novo casal. Supondo que a cada procriação não haja nenhuma morte, quantos coelhos seriam gerados em seis meses?

De acordo com o enunciado do problema, temos a seguinte progressão de números:

Mês 1º. Início 2º. 3º. 4º. 5º. 6º.
Número de casais de coelhos 1 1 2 3 5 8

Note que cada número é igual à soma dos dois anteriores. Essa é a famosa sequência de Fibonacci, com aplicações em diversas áreas. No exemplo acima tem-se que o primeiro elemento, a1 = 1; o segundo,a2 = 1, a3 = 2 etc. Logo, a seqüência será , sendo n o número de elementos da sequência.

Lei de formação

Para uma sequência ser lógica, ela precisa ter uma lei de formação que determine qual será lógica de seu escalonamento.

Por exemplo: na sequência de Fibonacci, a regra é que o número seguinte será sempre a soma dos dois anteriores.

Uma curiosidade: Em (2,3,5,7,11,13,17,...) a sequência dos números naturais primos, a fórmula que possibilita achar o próximo número, ainda não foi descoberta, você se habilita?

Veja as seguintes sequências:

a) (1,3,5,7,9,11...)

b) (40,35,30,25,20,15,10,5,0,-5,-10,...)

A lei de formação da seqüência a) é somar 2 ao número anterior, e na b) diminuir 5.

Toda seqüência em que a diferença entre um número e seu anterior é constante recebe o nome de Progressão Aritmética, ou, simplificadamente, é conhecida pela abreviatura P.A..

A diferença entre os termos é chamado de razão r.

Fórmula do enésimo termo

Pela definição de P.A., a fórmula do segundo termo é:

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Logo pode-se deduzir que para um termo qualquer :

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Fórmula da soma de um a P.A.

Um professor de matemática, tentando manter a classe quieta, propôs um problema: somar todos os números de 1 a 100. Para a surpresa do professor, logo em seguida, um aluno, Karl Friedrich Gauss (mais tarde um grande matemático) deu a resposta: 5.050.

Surpreso, o professor perguntou como Gauss conseguira o resultado tão rapidamente e ele explicou seu raciocínio:

Ele notou que o 1o número mais o último era igual a 101 e que o 2o mais o penúltimo também era igual a 101:

 

 

como existem 50 destes termos tem-se:

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Logo, ele descobriu a seguinte fórmula da soma de termos de uma P.A.:

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Devem ter sido uns anos bem difíceis para o professor de Gauss, ou será que ele aprendeu muito com seu aluno?

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

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