Matemática

Descartes: Como o grego chegou ao plano cartesiano

Maria Ângela de Camargo, especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

(Atualizado em 10/02/2014, às 16h59)

"Penso, logo, existo." Desde o século 3 a.C., os matemáticos gregos descreviam pontos no plano utilizando o recurso de dar suas duas coordenadas - ou três, no caso de ser um ponto no espaço. O mesmo recurso era utilizado em mapas, nas representações leste-oeste e norte-sul. Por que motivo então o sistema de coordenadas está ligado a Descartes, um filósofo do século 17?

Sabemos, desde a descoberta do papiro de Ahmés (cerca de 1.650 a.C.), que cálculos aritméticos podem ser atrelados a alguma interpretação geométrica. Na época de Tales (séc. 6 a.C.), a única interpretação geométrica do produto de dois comprimentos era uma área do retângulo com arestas de medidas adequadas.

Mas a proposição inicial do trabalho de Descartes chamado "La Géométrie" (1637) sugere outra interpretação para as operações aritméticas:

Problemas com construção exigindo apenas retas e círculos

Qualquer problema de geometria pode ser descrito de modo que o conhecimento de comprimentos de certos segmentos são suficientes para a sua construção. Assim como a aritmética consiste de quatro ou cinco operações ( adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes, que pode ser vista como uma espécie de divisão), também em geometria, para achar segmentos desejados, precisa-se apenas adicionar ou subtrair outros segmentos – ou usar uma das operações seguintes: tomando um intervalo escolhido à vontade, chamo-o de unidade (e faço isso para sugerir maior possível semelhança com os números) e tendo dois outros intervalos busco o quarto que será tão relacionado com um deles como o outro com a unidade (e esse processo seria o mesmo que a multiplicação). Depois (para aqueles dois intervalos) busco o quarto que tem a um deles como a unidade ao outro (e esta vez seria a divisão). Finalmente, busco uma ou algumas médias entre a unidade e um dado intervalo (e agora teria a extração de raiz quadrada, cúbica etc). E não hesitarei em introduzir esses termos aritméticos na geometria em nome de maior clareza.

Isso corresponde à seguinte receita:

"tome segmentos com comprimentos 1, a, b; arranje-os como mandam as hipóteses do teorema de Tales para que o esboço desse arranjo corresponda à proporção a 1 = x b ; a quarta proporcional que surge da construção é o segmento que tem justamente o comprimento x = a.b"

Essa maneira surpreendente de se utilizar o teorema de Tales não era original (já em 1572 Bombelli havia percebido e publicado o fato), mas foi o trabalho de Descartes que primeiro teve significativa divulgação e influência social. Abria-se a possibilidade de se obterem pontos descritos por expressões, envolvendo variáveis e operações aritméticas!

No trabalho de Viète, em décadas anteriores, já se usavam símbolos gráficos para constantes e variáveis - mas agora a capacidade de se localizar um ponto designado - por exemplo - por a + b e a - b abria uma estrada de duas mãos entre a geometria e a aritmética: a geometria analítica.

Geometrizar a natureza

Estender a discussão dos pontos para as figuras foi imediato: toda figura traçada sobre um plano é composta de pontos, e todo ponto possui uma posição que pode ser descrita por dois números - as coordenadas -, de modo análogo ao da posição de um ponto sobre um mapa ou sobre a superfície terrestre, recortada em meridianos e paralelos. Naturalmente, toda a discussão se apoiava na existência de uma reta numérica, o locus geométrico dos resultados de todas as operações aritméticas. Anos mais tarde, Isaac Newton propôs a interpretação de "números negativos" também como pontos de uma reta.

Observe o método de Descartes em ação na figura: traçando segmentos de retas paralelas aos eixos, vemos, de acordo com o teorema de Tales, que 5 está para 1 assim como 5 - y está para x, o que dá para y o valor 5 - 5x, dependente de x. Em outras palavras, os pontos da reta apresentam projeções ou coordenadas nas retas numeradas tais que y = 5 - 5x; isso é suficiente para determinar univocamente essa reta.

Assim, a revolução cartesiana está na tentativa de Descartes de geometrizar a Natureza, e "La Gèomètrie" foi o seu grande e original trabalho neste campo. Seu mérito consistiu basicamente em aplicar a álgebra ao estudo dos problemas geométricos. Toda figura geométrica pode ser representada por uma equação algébrica e os problemas de geometria são, portanto, passíveis de resolução por meio da álgebra. Inversamente, a geometria esclarece o significado das expressões algébricas.

Discurso sobre o método


Tal método de interpretação das fórmulas abriria caminho para o conceito de função, o cálculo infinitesimal e o limite, no período seguinte ao cartesiano. "La Géométrie" é um dos três ensaios prefaciados pelo "Discours de la Méthode pour bien conduire sa raison à chercher la verité dans les sciences" (Discuso sobre o Método para Bem Conduzir sua Razão a Procurar a Verdade nas Ciências), introdução que se tornou a sua obra mais importante. Aqui, Descartes descreveu a essência do método: partir de premissas verdadeiras; parcelar etapas de raciocínio complexos em "cadeias de raciocínio", tantos outros raciocínios "simples" quantos se fizerem necessários; evitar omissões na condução de raciocínios longos.

Para Galileu Galilei, é importante extrair da experimentação os pontos de partida dos raciocínios; para Descartes, em qualquer tipo de raciocínio, os postulados de partida são a premissa indispensável para se chegar a conclusões verdadeiras. Segundo Descartes, apenas quando os resultados fossem tão claros, controláveis e certos como na matemática alguém poderia falar em ter obtido algum conhecimento, e isso se aplicaria a todo campo científico, pois todos eles avançam pelo raciocínio, que tem o mesmo caráter fundamental, independente dos métodos adotados.

A razão é a mesma, em todos os homens; assim, deveria haver apenas um método universal, válido em qualquer pesquisa, em qualquer ramo da ciência.

Outras contribuições


Sua extensa produção propiciou, para além da matemática, incontáveis avanços na física e para a filosofia. Segundo ele, Deus teria criado no universo uma quantidade certa de repouso e movimento que permaneceriam eternamente imutáveis. Embora a física atual prescinda da conotação religiosa, a noção de conservação dos movimentos foi estudada por Isaac Newton e ampliada como a lei da Conservação da quantidade de movimento.

Descartes ainda descreveu e deu interpretações a fenômenos de mecânica, meteorologia e óptica. Na filosofia, combateu a lógica aristotélica pela introdução de um método racional, baseado no empirismo e no poder das deduções racionais abstratas. Religioso, acreditava em Deus como a garantia do saber científico por intermédio das idéias claras. No entanto, teve inúmeras controvérsias com os círculos católicos da época.

Chegou a ser acusado de ateísmo na Holanda e, após a sua morte, em 1650, a Igreja colocou todos os seus trabalhos no Índice dos livros proibidos pela Santa Inquisição.

Maria Ângela de Camargo, especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é professora de matemática do Colégio Ítaca.

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