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Matemática

Funções modulares (2) - Variações da função e estudos de gráficos

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Sabe-se que

| x | = { x ,  se x 0 - x ,  se x < 0

Portanto, a função modular mais simples é a função f x = | x | .
Duas variações dessa função são mais conhecidas:

f x = | x + a | e f x = | x | + a

No primeiro caso, o parâmetro a provoca um deslocamento (uma translação) horizontal de +a unidades, caso a seja negativo e, no caso de a ser positivo, uma translação de -a unidades.

No segundo caso, o parâmetro a provoca um deslocamento (uma translação) vertical de +a unidades, caso a seja positivo e, no caso de a ser negativo, uma translação de -a unidades.

Vamos agora estudar mais variações dessa função, construindo os gráficos das funções:

1)

f x = | x |

2)

f x = | 2 x |

3)

f x = | 3 x |

4)

f x = | 1 2 x |

5)

f x = | - 2 x |

6)

f x = 2 | x |

7)

f x = - 2 | x |


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Em funções da forma f x = | a x | :

  • caso | a | > 1 , a função "fecha", a exemplo do que aconteceu nos exemplos 2, 3 e 5;
  • caso 0 < | a | < 1 , a função "abre", a exemplo do que aconteceu no exemplo 4.

    Em funções da forma f x = a | x | :
  • caso a  > 1 , função "fecha", a exemplo do que aconteceu nos exemplos 6;
  • caso a < 0 , a função sofre simetria em relação ao eixo das abscissas, ou seja, ela é refletida com relação ao eixo horizontal, como no exemplo 7;

já no caso de 0 < a < 1 , a função "abre", coincidindo com funções como a do exemplo 4.

Reunindo agora tudo que sabemos, vamos aos exemplos:

1) Construir o gráfico da função f x = 2 | x + 1 | .


 

 

 

 

 

 

 

Assim, o gráfico da função representa uma translação de -1 unidade na horizontal do gráfico de f x = | x | e, posteriormente, o mesmo "fecha" (de forma que cada ponto tenha o dobro da distância em relação ao eixo x), em virtude de ter sido multiplicado por 2.

2) Construir o gráfico da função f x = 3 | x + 2 | - 1 .

 

 

 

 

 

 

 

Aqui, a função f x = | x | sofreu uma translação horizontal de -2 unidades e, posteriormente, "fechou" (de forma que cada ponto passe a ter o triplo da distância do eixo x). Por fim, sofreu translação vertical de -1 unidade (desceu).

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