Integral - Conceito e modelagem computacional

A integral de uma função é representada por:

graficamente, temos:

onde a área marcada é a integral da função f(x) entre os pontos a e b.

O cálculo dessa área, dentro do intervalo a-b, é feito para diferenças de x infinitesimais dx.

Se você não entendeu o que é este tal de dx, não desista, continue lendo:

Imagine que para calcular a área do gráfico acima calcula-se a somatória de pequenas áreas:

Se $$\Delta x$$ é constante tem-se:

Quando $$\Delta x$$ tende a zero, temos:

Se você reparar bem a notação da integral nada mais é do que o símbolo da somatória alongado e o elemento finito $$\Delta x$$ se torna um elemento infinitesimal dx.

Logicamente as duas áreas não são iguais, existindo um erro, que será tanto menor quanto menor o valor de $$\Delta x$$.

Modelagem computacional

A maioria dos fenômenos estudados em modelos computacionais, cálculo de estruturas, aerodinâmica de aviões, hidrodinâmica de turbinas, análise dinâmica de estruturas, etc. sempre partem de uma integração. Porém somente em modelos extremamente simples a integração direta é possível.

Com o desenvolvimento de elementos finitos há uma possibilidade de cálculo, utilizando o cálculo numérico.

E como exposto acima com um erro, tanto menor quanto menor for o elemento.

Veja abaixo algumas modelagens extraídas de sites de Universidades norte-americanas:

As modelagens formam somatórias conforme (I), com n equações com n incógnitas.