Expressões trigonométricas - Exercício resolvido

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Para resolver expressões trigonométricas, muitas vezes é necessário saber resolver equações exponenciais - já que é comum que essas expressões, reduzidas, se transformem em expressões algébricas com incógnita no expoente. As expressões trigonométricas também são conhecidas como equações exponenciais.

Veja o exercício resolvido:

$2 cos x - 3 sec x = 5$

2 cos x - 3 sec x = 5

Para:

$0 \leq x \leq 2 π$

0 \leq x \leq 2 π

1) Nesse caso, a primeira dica é aplicar as fórmulas e transformar todos os termos para seno e cosseno.

Como:

$sec x = \frac{1}{cos x}$

sec x = \frac{1}{cos x}

Logo:

$2 cos x - \frac{3}{cos x = 5}$

2 cos x - \frac{3}{cos x = 5}

2) A segunda dica é tentar reduzir ao máximo a expressão para obter uma mais simples:

Então:

$2 {cos}^{2} x - 3 = 5 cos x$

2 {cos}^{2} x - 3 = 5 cos x

fica:

$2 {cos}^{2} x - 5 cos x - 3 = 0$

2 {cos}^{2} x - 5 cos x - 3 = 0

3) Obteve-se uma equação do segundo grau.

$y = cos x$

y = cos x

$2 y^{2} - 5 y - 3 = 0$

2 y^{2} - 5 y - 3 = 0

Cuja solução:

$y = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4.2 . (- 3)}}{2.2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$

y = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4.2 . (- 3)}}{2.2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}

$y_{1} = 3$

y_{1} = 3

$y_{2} = - \frac{1}{2}$

y_{2} = - \frac{1}{2}

Ora, a equação:

$y_{1} = cos x = 3$

y_{1} = cos x = 3

não possui solução, pois:

$- 1 \leq cos x \leq 1$

- 1 \leq cos x \leq 1

Tem-se:

$cos x = - \frac{1}{2}$

cos x = - \frac{1}{2}

Que:

$x = 12 0^{?}$

x = 12 0^{?}

Ou em radianos:

$x = \frac{2 π}{3}$

x = \frac{2 π}{3}

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