Logaritmo - Equações logarítmicas

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Resolva a seguinte equação:

$27 \cdot x^{{log}_{3} x} = x^{4}$

27 \cdot x^{{log}_{3} x} = x^{4}

Novamente um problema que parece ser extraordinário, mas que um pouco de planejamento se torna banal:

O segredo deve estar em "remover" o exponencial em logaritmo na base 3. Pela fórmula (I) talvez alguma coisa possa ser feita. Se o primeiro membro inteiro fosse um logaritmo, o exponencial poderia "sair". Ora deve-se então transformar o primeiro membro em um logaritmo e de preferência na base 3 e para fazer isso o segundo membro deve ser transformado em um log:

${log}_{3} (27 \cdot x^{{log}_{3} x}) = {log}_{3} (x^{4})$

{log}_{3} (27 \cdot x^{{log}_{3} x}) = {log}_{3} (x^{4})

Segundo a fórmula de multiplicação:

${log}_{a} (b c) = {log}_{a} b + {log}_{a} c$

{log}_{a} (b c) = {log}_{a} b + {log}_{a} c

${log}_{a} (27) = {log}_{3} (x^{{log}_{3} x}) = {log}_{3} (x^{4})$

{log}_{a} (27) = {log}_{3} (x^{{log}_{3} x}) = {log}_{3} (x^{4})

Como ${log}_{3} (27) = 3$ e e usando-se (I) nos 2 outros elementos:

$3 + {log}_{3} x . {log}_{3} x = 4 . {log}_{3} x$

3 + {log}_{3} x . {log}_{3} x = 4 . {log}_{3} x

Veja que já se ilumina o fim do túnel, substituindo por y o ${log}_{3} x$ :

$3 + y \cdot y = 4 \cdot y \to 3 + y^{2} = 4 y \to y^{2} - 4 y + 3$

3 + y \cdot y = 4 \cdot y \to 3 + y^{2} = 4 y \to y^{2} - 4 y + 3

Cujas soluções são $y_{1} = 1$ e $y_{2} = 3$ substituindo por ${log}_{3} x$ :

${log}_{3} x = 1 \to x = 3$

{log}_{3} x = 1 \to x = 3

${log}_{3} x = 3 \to x = 27$

{log}_{3} x = 3 \to x = 27

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