Triângulo retângulo - Relações métricas

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

A partir do teorema de Pitágoras, é possível estabelecer diversas relações de medidas dentro do triângulo retângulo. Essas relações fazem parte do que se chama em matemática de trigonometria.

Dada a figura:

Só para lembrar a hipotenusa a é oposta ao ângulo A, e os catetos b e c opostos aos ângulos B e C.

Voltando a Pitágoras:

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

a^{2} = b^{2} + c^{2}

Veja agora a essa outra figura:

Onde h é a medida da altura relativa à hipotenusa, m e n são respectivamente as medidas das projeções de c e b sobre a hipotenusa.

Lembre-se de que a altura de um triângulo é sempre perpendicular ao lado ao qual ela se apoia.

Como o trecho a foi dividido em dois (m e n), pode-se dizer que juntando m e n, temos a:

a = m + n."

Note que o triângulo ABH e o ABC são triângulos retângulos e possuem um ângulo em comum B, logo são semelhantes o que significa:

$\frac{a}{b} = \frac{b}{h} = \frac{c}{m}$

\frac{a}{b} = \frac{b}{h} = \frac{c}{m}

Logo:

$c^{2} = a \cdot m$

c^{2} = a \cdot m

$a \cdot h = b \cdot c$

a \cdot h = b \cdot c

$c \cdot h = b \cdot m$

c \cdot h = b \cdot m

Mas o triângulo ABC também é semelhante ao triângulo ACH:

$\frac{a}{b} = \frac{b}{n} = \frac{c}{h}$

\frac{a}{b} = \frac{b}{n} = \frac{c}{h}

Logo:

$b^{2} = a \cdot n$

b^{2} = a \cdot n

$b \cdot h = n \cdot c$

b \cdot h = n \cdot c

$a \cdot h = b \cdot c$

a \cdot h = b \cdot c

Agora veja que como:

$b^{2} = a \cdot n$

b^{2} = a \cdot n

$c^{2} = a \cdot m$

c^{2} = a \cdot m

Somando-se as duas temos:

$b^{2} + c^{2} = a \cdot a$

b^{2} + c^{2} = a \cdot a

Logo

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

a^{2} = b^{2} + c^{2}

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