Limites (1) - Definição e notação

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Considere a sequência de números

$a_{n} = \frac{1}{n}, n \in N^{*}$

a_{n} = \frac{1}{n}, n \in N^{*}

$1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{5}; \frac{1}{6}; \dots; \frac{1}{100}; \dots \frac{1}{1000}; \dots; \frac{1}{n}; \dots$

1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{5}; \frac{1}{6}; \dots; \frac{1}{100}; \dots \frac{1}{1000}; \dots; \frac{1}{n}; \dots

Que é igual a:

$1; 0, 5; \dots; 0, 001; \dots; 0, 0001; \dots$

1; 0, 5; \dots; 0, 001; \dots; 0, 0001; \dots

Note que conforme n cresce, tendendo a infinito, o valor de $\frac{1}{n}$ vai se aproximando de zero.

Notação

O exemplo acima pode ser representado como:

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

lim_{x \to \infty} \frac{1}{n} = 0

Onde se lê: o limite de $\frac{1}{n}$ quando n tende ao infinito é igual à zero, ou o limite da sequência é zero.

Outro exemplo: Calcule o limite de

$a_{n} = \frac{n}{n + 1}, n \in N^{*}$

a_{n} = \frac{n}{n + 1}, n \in N^{*}

$\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \dots, \frac{99}{100}; \dots; \frac{999}{1000}; \dots; \frac{n}{n + 1}; \dots$ $0, 5; \dots; 0, 8; \dots; 0, 99; \dots; 0, 999; \dots$

\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \dots, \frac{99}{100}; \dots; \frac{999}{1000}; \dots; \frac{n}{n + 1}; \dots

0, 5; \dots; 0, 8; \dots; 0, 99; \dots; 0, 999; \dots

Logo:

$lim_{x \to \infty} \frac{n}{n + 1} = 1$

lim_{x \to \infty} \frac{n}{n + 1} = 1

Divergentes

Note que caso interessante:

$a_{n} = {(- 1)}^{n}, n \in N^{*}$

a_{n} = {(- 1)}^{n}, n \in N^{*}

quando n tende a infinito.

A sequência fica:

$+ 1, - 1, + 1, - 1, \dots, {(- 1)}^{n}$

+ 1, - 1, + 1, - 1, \dots, {(- 1)}^{n}

Como a sequência não converge para nenhum número ela é chamada de divergente e não existe limite.

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