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Funções - Características

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

(Atualizado em 28/04/2014, às 17h09)

Vamos estudar algumas características das funções.

1) Crescimento e decrescimento

Observe as seguintes funções:

I)

 

 

 

 

 

 

Nesta função, temos os seguintes valores:

para x = 1, y = 1;

para x = 2, y = 1,75;

e assim por diante. À medida que os valores de x aumentam, os valores de y também aumentam, e isso acontece ao longo de toda a função. Assim, podemos classificar a função como crescente.

II)

 

 

 

 

 

 

 

 

Nesta função, temos os seguintes valores:

para x = -1, y = 1;

para x = 0, y = 0,5;

e assim por diante. À medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem, e isso acontece ao longo de toda a função. Assim, podemos classificar a função como decrescente.

III)

 

 

 

 

 

 

 

Observe esta função.

É crescente quando x < 0;

é constante para valores de x que obedeçam à condição 0 < x < 2;

e é decrescente quando x > 2.

2) Raízes de uma função

Os valores de x que anulam uma função, ou seja, para os quais f (x) = 0, são chamados de raízes da função. Assim, para acharmos as raízes de uma função, devemos resolver a equação f (x) = 0.

Exemplos:

A)

 

 

 

 

 

 

 

Resolvendo-se a equação f (x) = - x2 + 5x - 6 = 0, obtemos as raízes 2 e 3, como podemos observar no gráfico.

As raízes da função são os valores onde o gráfico intercepta o eixo horizontal, o eixo das abscissas.

B)

 

 

 

 

 

 

 

 

A função f x = x . sen x tem as seguintes raízes no intervalo - 2 π < x < 2 π , conforme observamos no gráfico:

x = - π x = 0 x = π

Encontramos esses valores considerando que, se x . sen x = 0 , então x = 0 ou x . sen x = 0 .
3) Estudo do sinal de uma função
Quando estudamos os conceitos iniciais sobre funções de R em R, aprendemos que os valores de y são funções dos valores de x. Isso significa que os valores de y são obtidos a partir de valores de x. Em representação matemática, y = f x .
Assim, consideremos o gráfico de uma função traçado no plano cartesiano. No eixo y, são encontrados os valores da função. Logo, para estudarmos o sinal da função, devemos observar o eixo vertical, o eixo das ordenadas.


 

 

 

 

 

 

 

 

Acima do eixo x, os valores de y são positivos; abaixo, os valores são negativos; e sobre o eixo x, o valor de y é zero. Considerando que ,o sinal da função será determinado da mesma forma.

Portanto, no intervalo em que a função estiver acima do eixo x, ela é positiva; quando estiver abaixo do eixo x, é negativa. Nos pontos em que o gráfico intercepta o eixo x, a função é nula; como já dissemos antes, esses pontos são chamados de raízes da função.

Exemplo:


 

 

 

 

 

 

 

É possível observar as três características juntas. Podemos, ao mesmo tempo, encontrar as raízes, analisar o crescimento e o decrescimento da função, e estudar seu sinal.

No exemplo acima, as raízes são

x = - π x = 0 x = π

Quanto ao crescimento e decrescimento, a função é crescente até x = -2 e entre 0 e 2, aproximadamente. É decrescente entre -2 e 0 e também após x = 2, aproximadamente.

Quanto ao sinal, a função é positiva para

- π < x < 0 e 0 < x < π

; negativa para

x < - π e x > π

; e nula nas raízes.

É importante não confundir crescimento e decrescimento de uma função com o estudo do sinal. No exemplo, observe que a função é crescente e negativa até a primeira raiz, ou seja, a função é crescente e negativa para

                                                                                                                                                                    x > - π

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