Matemática - Análise combinatória

Análise combinatória

Objetivos

Reconhecer elementos de análise combinatória em alguns passatempos de lógica e usar esse conhecimento para estabelecer uma estratégia de resolução.

Público-alvo

Alunos do 2° ano do Ensino Médio.

Tempo de execução

Uma hora-aula.

Comentário introdutório

Afirmações categóricas e silogismos são muito comuns nas demonstrações matemáticas.

• se a é b e se b é c, então a é c;
• se a é b e se b não é c, então a não é c;
• se a não é b e se b não é c, nada se pode afirmar a respeito de a e c.

Atividades

1) Proponha o seguinte problema:

Três crianças moram na mesma rua. Seus nomes são Ana, João e Maria. Seus sobrenomes são Berti, Castro e Silva, e suas idades são 7, 9 e 10 anos, não necessariamente nessa ordem. Partindo das pistas abaixo, descubra o nome completo e a idade de cada uma.

• a menina de sobrenome Berti tem três anos a mais que Maria.
• a criança cujo sobrenome é Silva tem 9 anos.

Várias revistas de passatempos apresentam esse tipo de problema. Há quesitos a relacionar: nome, sobrenome, idade. São possíveis C_3;2 = 3 modos diferentes de se estabelecer relações entre esses quesitos. Eles sistematizam o raciocínio da seguinte forma: organize as informações que você deseja relacionar em uma tabela de dupla entrada, 2x2.

Na horizontal, de cima para baixo, relacione: nome, idade. Na vertical, da esquerda para a direita, coloque: sobrenome, idade. Use só a metade da tabela, da diagonal à esquerda, use três quadros. Então, se Berti é sobrenome de uma menina, desabilite o quadrinho Berti x João.

Também, se Berti tem 3 anos a mais que Maria, então Berti é o sobrenome de Ana: habilite esse quadro, e desabilite as demais relações possíveis envolvendo Berti e Ana.

Problemas simples como esse não necessitam do quadro, mas as relações possíveis vão se multiplicando à medida que o número de quesitos a relacionar aumenta. Nesse caso, além do quadro de respostas, pode ser útil a tabela de dupla entrada.

Relações posteriores são possíveis, do tipo "a é b" e "b não é c" , então "a não é c" etc.

2) Proponha depois o seguinte problema:

Três pessoas moram na mesma rua, têm diferentes profissões e utilizam meios diferentes de transporte. Partindo das pistas abaixo, determine quem mora em cada casa, sua profissão, o meio de transporte que usa e o número de sua casa.

Pistas:

• Ernesto mora entre o motoqueiro e o contador.
• Renato vai de ônibus para o trabalho.
• O vendedor mora na casa que tem um número inferior ao da casa do que vai de carro para o trabalho.

Peça aos alunos que façam a tabela e resolvam o problema e depois respondam:

a) que alterações poderiam ser feitas no texto para dispensar a tabela?

b) dada a quantidade de quesitos, quais são as relações possíveis entre eles?

Sugestões e dicas

Depois das atividades, distribua desafios de complexidade crescente, sempre que possível.