Matemática - Condição de existência de triângulos

Condição de existência de triângulos

Objetivos

Implementar o estudo de triângulos com materiais concretos e conceitos de trigonometria:

• Condição de existência de triângulos;
• Relações entre lados e ângulos do triângulo.

Pré-requisitos

• Funções trigonométricas;
• Lei os senos, lei dos co-senos;
• Análise combinatória.

Material

1) Varetas de madeira para churrasco, graduados em centímetros, medindo 3, 4, 5, 9, 12, 13 e 15 cm;

2) Máquina de calcular.

Atividade

O objetivo da atividade é que os alunos, divididos em pares, formulem os seguintes fatos:

• Condição de existência de triângulos:

Cada lado do triângulo deve medir menos que a soma das medidas dos outros dois lados.

• Relação entre lados e ângulos: Ao maior lado do triângulo opõe-se o maior ângulo.

Parte 1

Distribua um conjunto de sete varetas para cada grupo; deixe-os brincar um pouco com o material e então proponha a seguinte atividade:

1. Escolham três varetas e montem um triângulo; façam o desenho e marquem a medida dos lados.

2. Isso é possível com três varetas quaisquer? Façam o desenho de como ficou um conjunto de três varetas com que não foi possível montar o triângulo; não se esqueçam de anotar as medidas das varetas no desenho.

3. Dado um conjunto de sete varetas, quantos trios de varetas é possível formar?

4. Destes, quantos formam triângulos?

5. Qual deve ser a relação entre as medidas de três varetas que formam efetivamente triângulos?

6. Verifiquem se essa condição está de acordo com o que vocês responderam nas questões 1. e 2.

7. Tomem, agora, duas varetas quaisquer. Digam entre quais valores deve estar a medida de uma terceira vareta que componha, com as duas escolhidas, um triângulo. Esses valores estão de acordo com a relação descoberta por vocês na questão 5.?

Parte 2

Relembre os sinais e o crescimento das funções f(x) = sen x e g(x) = cos x nos dois primeiros quadrantes do ciclo trigonométrico.

Peça que cada dupla responda:

1. Se 0 < x < y < p/2, então:

a) sen x ....... sen y

b) cos x ....... cos y

2. Se x + y = p, então:

a) sen x ........ sen y

b) cos x ........ cos y

3. Relembre a demonstração dos teoremas do seno e do co-seno.

a) Montem o triângulo ABC com as varetas medindo AB = 9cm, BC = 12cm, AC = 13cm;

b) Calculem os valores dos co-senos dos ângulos internos A, B, C, cos A, cos B, cos C;

c) Coloquem os co-senos em ordem crescente;

d) Deduzam a partir de b) a ordem crescente dos ângulos internos A, B, C;

e) Que relação há entre a ordem dos ângulos e a ordem dos lados opostos?

f) Calculem os valores de sen A, sen B, sen C;

g) Verifiquem se a relação d) se confirma.

h) Esse triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo?

Parte 3

Dado um triângulo de lados a, b, c e semi-perímetro p, é possível calcular a sua área pela fórmula de Heron:

Figura no	1	2	3	4	5
lado a (cm)	2,3	7,5	1,44	0,03	5
lado b (cm)	3,7	7,6	3,27	0,04	5
lado c (cm)	4,1	7,7	4,80	0,05	10
Semi-perímetro
Observações

Para depois da atividade

Discuta com a classe se as respostas dadas em 3)a) seriam as mesmas no caso de triângulos obtusângulos.

Discuta com a classe se é suficiente, para a determinação de um triângulo, dar a medida de dois lados e o seno do ângulo entre eles.

Incentive os alunos a descobrir outras maneiras de calcular áreas de triângulos