Sequência de Fibonacci

Michele Viana Debus de França

Objetivos

Levar os alunos a um primeiro contato com as sequências, por meio de um clássico problema matemático.

Público-alvo

Alunos do primeiro ou segundo ano do Ensino Médio, que irão começar a estudar seqüências e progressões.

Duração

Uma aula para a resolução do problema e uma aula para discussão, conclusões e introdução dos conceitos ligados às seqüências.

Estratégias

1) O ideal é que o problema seja proposto sem que o assunto seqüências tenha sido explicado ou até mesmo mencionado.

2) Propor o problema e deixar que os alunos resolvam da forma que acharem melhor, utilizando números, tabela, "pauzinhos", "bolinhas" etc

3) A atividade pode ser feita em duplas, mas o ideal é que cada aluno pense no problema e tenha uma estratégia pessoal de resolução.

4) As propriedades da seqüência de Fibonacci, ligadas ao número de ouro, podem ser discutidas ao final da atividade.

Introdução

Leonardo de Pisa (1170-1250), também conhecido como Fibonacci, foi um matemático italiano. É considerado por alguns como o mais talentoso matemático da Idade Média. Ficou conhecido pela descoberta da sequência de Fibonacci e pelo seu papel na introdução dos algarismos indo-arábicos na Europa.

A seqüência de Fibonacci é bastante famosa e esconde em si a proporção áurea, ou número de ouro, muito famoso também por ser uma constante presente em várias outras circunstâncias na natureza, tais como em plantas, a exemplo dos pinheiros, algumas flores cuja forma é a do pentagrama ou a do pentágono regular, e em seres como a estrela-do-mar. Muitas construções também contam com sua presença, por meio do retângulo de ouro.

Tal seqüência tem origem num problema clássico, o problema dos coelhos. Em seu livro, o Liber Abaci (Livro de Cálculo), o primeiro problema proposto por Fibonacci foi:

"Um casal de coelhos pode reproduzir-se após dois meses de vida e, a partir daí, produz um novo casal a cada mês. Começando com um único casal de coelhos recém-nascidos, quantos casais existirão ao final de um ano?"

Esse problema resulta na seqüência:

Mes Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
Casais 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

A razão entre os seus termos tende à razão áurea.

Atividade

Propor o problema aos alunos e esclarecê-lo, se necessário. Deixar que eles resolvam, dando tempo de uma aula para isso, pois, sem conhecer a seqüência, a resolução não é tão simples. Muitos alunos resolvem o problema sem notar que o número de casais forma uma seqüência.

Ao final, deixar que eles exponham suas estratégias de resolução, identificando estratégias diferentes.

Caso nenhum deles tenha notado a seqüência, mostrá-la e comentar suas propriedades. Usar a seqüência para introduzir alguns conceitos do estudo das sequências: termo, ordem, nomenclatura, número de termos, regra de formação.

Sugestão

Para ilustrar a aula e mostrar mais propriedades da seqüência de Fibonacci, o vídeo "Donald no país da Matemágica", de Walt Disney, pode ser passado aos alunos.

Michele Viana Debus de França
é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.

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