Matemática - A gravitação e os logaritmos

A gravitação e os logaritmos

Objetivos

Utilizar o conceito de proporção logarítmica na determinação da lei gravitacional dos períodos, de Kepler.

Público-alvo

Alunos do segundo ano do ensino médio

Pré-requisitos

• Retas como gráficos de funções afim.
• Propriedades operatórias de logaritmos.

Descrevendo o método

Que fazem os físicos? Estudam a dependência entre grandezas. Usam para isso as ferramentas da matemática. Em geral, essa dependência não é linear (ou seja, nem sempre y é diretamente proporcional a x), e é fundamental para os físicos descobrir de que tipo é e quais são os parâmetros que a caracterizam.

Vamos analisar nessa atividade os dois casos mais simples de relação entre duas grandezas, depois da linear:

a) a relação tipo potência (y = ax^b): aqui, x é a base da potência.

Quando o pesquisador desconfia que as grandezas x e y estão relacionadas através de uma fórmula desse tipo, ele precisa apenas descobrir as constantes a e b,e o seu problema estará resolvido. Para isso, ele modifica ligeiramente os dois lados da igualdade, extraindo o logaritmo decimal de ambos os lados:

• log (y) = log(ax^b), que é o mesmo que:
• log (a) + log (x^b ou ainda log (y) = log(a) + b.log(x)

 

agora ele faz mudanças de variáveis:

• log (x) = X, log (y) = Y, log (a) = A

 

e transforma a relação potência em uma sentença que descreve uma reta:

• Y = A + bX

 

Plotando os valores experimentais de x e y em um gráfico cujas escalas são proporcionais aos logaritmos das coordenadas, a reta terá coeficiente angular b e coeficiente linear A = log (a).

Existe um papel para isso e tem o nome de papel di-log.

b) a relação tipo exponencial (y = a.10^bx): aqui, x está no expoente da potência.

Se o gráfico no papel di-log não é uma reta, pode-se tentar a relação exponencial. Aqui, o pesquisador também precisa achar os valores de a e b, por um processo análogo ao anterior,

• log (y) = log(a.10^bx), que é o mesmo que
• log (y) = log(a) + log(10^bx) ou log(a) + bx.log(10), ou ainda
• log (y) = log (a) + bx

 

Pronto! Essa é a equação da reta Y = A + bx.

Nessa reta, o coeficiente angular é b e o coeficiente linear é A = log(a).

Usamos aqui o papel monolog, um papel de gráfico que tem um dos eixos em escala logarítmica (Y) e o outro eixo na escala linear (x).

Material

Papéis para gráficos em escala logarítmica (monolog e di-log), que você pode imprimir usando o programa gratuito Graphpap.exe, disponível para download aqui ou aqui.

Atividades

1) Divida a turma em pares. Distribua a cada par uma folha de papel monolog e peça que eles observem as coordenadas dos seguintes pontos:

(log4; 1)
(log9; 2)
(log16; 3)
(log 36; 6)
(log 121; 6)

Peça que eles plotem esses pontos na folha e encontrem a função que rege a curva obtida.

2) Divida a turma em pares. Distribua a cada par uma folha de papel di-log e proponha o seguinte problema:

A tabela abaixo mostra os valores de período de translação e os raios médios das órbitas (distâncias médias ao Sol) para os planetas do Sistema Solar.

Vocês desconfiam que a relação entre essas grandezas é do tipo y = ax^b . Usando o papéis que vocês receberam, levantem as constantes a e b e depois comparem o resultado com a Terceira Lei de Kepler para a Gravitação, ou Lei dos Períodos.

Para depois da atividade

Comente com os alunos que uma reta (média) análoga pode ser obtida plotando, em um gráfico de coordenadas lineares, o cubo das distâncias médias dos planetas ao Sol em função dos quadrados dos períodos de translação.

As Leis de Kepler, formuladas inicialmente para planetas do Sistema Solar, provaram mais tarde serem válidas para qualquer sistema de corpos em que um orbita em torno de outro.

Os decaimentos radiativos e os correspondentes tempos de meia vida dos radioisótopos puderam ser rapidamente determinados pela análise de gráficos em papéis dessa natureza.