Matemática - Formas circulares

Formas circulares

Objetivos

1) Ilustrar o método de exaustão de Eudoxo-Arquimedes com a determinação do perímetro da circunferência;

2) Utilizar objetos e materiais de fácil aquisição para ilustrar as demonstrações.

Público alvo

Alunos do primeiro ano do ensino médio.

Material

Usar esferas de isopor ou plástico, discos de papelão ou EVA e barbante.

Tempo de execução

Apenas uma hora-aula.

Introdução

A matemática do ensino médio tem um grau de formalidade maior que o do ensino fundamental e é a demonstração de alguns resultados importantes que asseguram isto. Enquanto a classe não está pronta para uma demonstração de muita dificuldade, uma simples montagem ou instrumental justifica a fórmula e garante que o conceito será absorvido.

Escolha um momento para fazer as demonstrações: pode ser depois de se (re)ver o teorema de Pitágoras e antes da trigonometria.

Nos anos seguintes, pode-se retomar o assunto num ambiente mais formal. É uma excelente oportunidade para falar de história da matemática e de Eudoxo, cujo método é um dos precursores do cálculo.

Atividade

1) Perímetro da circunferência - método da exaustão, utilizado por Arquimedes e Eudoxo de Cnido. Consiste em inscrever e circunscrever uma mesma circunferência em figuras de perímetro conhecido: o perímetro da circunferência fica, assim, limitado ao perímetro das figuras inscrita e circunscrita.

• Considere uma circunferência de raio R. Desenhe um quadrado inscrito e um circunscrito a essa circunferência.

a) Quais são, respectivamente, os lados dos quadrados L_i e L_c inscritos e circunscritos a essa circunferência?

(respostas: L_i = e L_c = 2R)

b) Considerando que o perímetro C da circunferência está entre os perímetros das figuras inscrita e circunscrita, qual é a desigualdade que representa essa limitação?

(resposta: 4 < C < 2R, ou seja, 5,6 R < C < 8 R)

• Inscrevam e circunscrevam hexágonos regulares à mesma circunferência de raio R.

a) Quais são, respectivamente, os lados dos hexágonos L_i e L_c inscrito e circunscrito a essa circunferência?

(respostas: L_i = R e L_c )

b) Escreva agora a desigualdade que representa o fato de o perímetro da circunferência estar entre os perímetros dos hexágonos inscritos e circunscritos.

(resposta: 6R < C < , ou seja, 6R < C < 6,92 R)

c) Arquimedes continua o processo, aumentando o número de lados dos polígonos , chegando a C 6,2830 R, que hoje escrevemos como C = 2 R.

2. Área do círculo - Distribua círculos recortados em cartolina. Os alunos devem recortá-los em setores circulares:

É razoável pensar que a área do círculo é a soma das áreas dos setores circulares. Peça que eles transformem os setores em outros ainda menores. Nessa situação, os setores recortados podem ser aproximados a triângulos isósceles de bases variáveis, mas todos de altura muito próxima do raio R do círculo. A soma de todas as áreas será:

A = [(soma de todas as bases dos triângulos) x altura]/2

A = C.R/2

Mas C = 2 R , então, A = 2 R.R/2 = ²

Desenrole o barbante das duas figuras e compare os comprimentos; o necessário para fazer a cobertura da esfera terá comprimento quatro vezes maior que o do disco.

Qual a fórmula da área da superfície esférica? Se o disco tem área A_circ = R² e usou-se o quádruplo de barbante na sua cobertura, então A_esf = 4 R².

Para depois da atividade

Isto é para provocar a nossa intuição! Imagine que seja possível passar uma fita justa em torno da Terra, ao longo do Equador, onde o raio terrestre mede 6.400 km. Então, responda:

a) Quanto mede essa fita?

b) Acrescente a ela mais um metro e distribua esse excedente por todo o perímetro. Esta fita, neste momento, não encosta mais na superfície terrestre. Qual a medida do afastamento da superfície terrestre?

A resposta é 15 cm. Não parece um exagero?