Matemática - Volumes iguais em formatos diferentes

Volumes iguais em formatos diferentes

Introdução

Uma parte dos desafios que encontramos nos problemas de geometria está relacionada ao conceito e ao cálculo do volume de determinados sólidos. Um dos problemas interessantes é o que propõe a questão dos formatos diferentes com volumes iguais. Esse tipo de problema foi explorado em uma das questões do ENEM, no ano de 2009.

Objetivos

A partir da questão do ENEM, mostrar estratégias que retomem o conceito de volume e as relações que podem ser construídas com o formato de cada sólido. Apresentar e explorar os procedimentos para o cálculo do volume e da área lateral dos sólidos envolvidos na questão.

Estratégias

1) Apresentar à classe a questão do ENEM, com o objetivo de mostrar os conceitos que estão envolvidos no texto do problema:

2) Perguntar para os alunos quais os sólidos envolvidos no problema e quais as fórmulas relacionadas ao cálculo do volume de cada um deles:

3) Retomar o conceito de densidade e lembrar que para o mesmo tipo de material teremos densidades iguais. Mostrar que, de acordo com a condição imposta pelo problema, as duas quantidades de massa iguais conduzem ao resultado de os volumes também serem iguais:

4) Mostrar qual a razão entre os volumes dos dois sólidos, não esquecendo da condição de que volumes e alturas iguais simplificam e indicam a resolução do problema:

5) Discutir com os alunos a relação e a condição que impõem a igualdade entre as áreas das bases dos respectivos sólidos.

6) Escrever a expressão para a área lateral do paralelepípedo a partir das informações do problema:

7) Em função dos dados do problema, deduzir a expressão para a área lateral do cilindro:

8) Formar grupos de três ou quatro alunos. Distribuir um pedaço de massa de modelar e pedir para que os grupos dividam esse pedaço ao meio, com o objetivo de transformar as metades em sólidos semelhantes aos que foram apresentados no problema.

9) Relacionar o problema do ENEM com o conteúdo de Física, envolvendo o conceito de pressão. Desafiar os alunos a pesquisarem sobre a pressão que um corpo exerce sobre determinada superfície. Mostrar que, no problema apresentado, as pressões serão iguais em função das áreas de contatos também serem iguais, apesar de possuírem formatos diferentes.

Atividades

1) Escrever a expressão para o volume e para a área lateral do cilindro (levando em consideração que o raio tem o dobro da altura).

2) Com um pedaço de massa de modelar, construir um paralelepípedo com base quadrada igual a 2 cm e altura igual a 6 cm. Utilizando a mesma quantidade de massa de modelar, transformar esse paralelepípedo em um cilindro e calcular qual deverá ser a medida do raio (sob a condição de os dois sólidos terem a mesma altura).